Conservação de Energia

Dizemos que uma força é conservativa quando o trabalho em um deslocamento depende dos seus pontos inicial e final.

Chamaremos de posição-padrão a posição final no intervalo de integração e deixaremos a posição inicial livre para assumir qualquer valor possível, e para toda força conservativa podemos associar uma função que chamaremos de energia potencial e é definida pela integral a seguir

U(r)=\int_{r_i}^{r_f}{\vec{F} \sdot d\vec{r}}=\int_{r}^{r_p}{\vec{F} \sdot d\vec{r}}=W(r,r_p)

A energia potencial de uma partícula em uma dada posição é o trabalho que seria realizado pela força conservativa, se a partícula fosse dessa posição até uma posição fixa escolhida como padrão.

Utilizando-se as propriedades do trabalho de forças conservativas podemos escrever que

W(r_1,r_2)=W(r_1,r_p)+W(r_p,r_2) \\ W(r_1,r_2)=W(r_1,r_p)-W(r_2,r_p) \\ W(r_1,r_2)=U(r_1)-U(r_2) \\ W(r_1,r_2)=- \left[U(r_2)-U(r_1) \right] \\

conclui-se que, o trabalho realizado por uma força conservativa sobre uma partícula, quando ela sofre um certo deslocamento, e menos a variação da energia potencial nesse deslocamento.

W_{fc}=-\Delta U

A definição acima indica que o trabalho da força conservativa é igual a menos a variação da energia potencial.

Se uma força tem componente apenas ao longo de uma dada direção e é conservativa, então sua componente é o negativo da derivada da energia potencial em relação à coordenada dessa direção, logo

F_r=- \frac{dU(r)}{dr}

Vamos considerar que um objeto de massa m está sobre a influência de N forças, que podem ser conservativas ou não-conservativas, assim, a força resultante é escrita como

\vec{F_R}=\sum_{i=1}^{N}{\vec{F_i}}

Podemos separar essas forças em dois grupos, F (forças conservativas) e F’ (forças não-conservativas), logo

\vec{F}_R=\sum_{k=1}^{n}{\vec{F}_k}+\sum_{l=1}^{m}{\vec{F’}_l}

onde N=n+m.

Calculando-se o trabalho da força resultante, obtemos

W(\vec{F}_R)=W_T=\sum_{k=1}^{n}{\int{\vec{F}_k}\sdot d\vec{r}}+\sum_{l=1}^{m}{\int{\vec{F’}_l}\sdot d\vec{r}}

Se utilizarmos o teorema do trabalho-energia cinética, temos

W_T=\Delta E_c=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\frac{1}{2}mv_{i}^{2}

logo,

\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\frac{1}{2}mv_{i}^{2}=\sum_{k=1}^{n}{\int{\vec{F}_k}\sdot d\vec{r}}+\sum_{l=1}^{m}{\int{\vec{F’}_l}\sdot d\vec{r}}

Sabemos que o trabalho das forças conservativas é igual ao negativo da variação da energia potencial

\sum_{k=1}^{n}{\int{\vec{F}_k}\sdot d\vec{r}}=-\sum_{k=1}^{n}{\Delta U_k}

portanto,

\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\frac{1}{2}mv_{i}^{2}=-\sum_{k=1}^{n}{\Delta U_k}+\sum_{l=1}^{m}{\int{\vec{F’}_l}\sdot d\vec{r}}

\sum_{l=1}^{m}{\int{\vec{F’}_l}\sdot d\vec{r}}=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\frac{1}{2}mv_{i}^{2}+\sum_{k=1}^{n}{\Delta U_k}

O lado esquerdo da equação acima é o trabalho total das forças não-conservativas e o lado direito é a variação da energia mecânica da partícula, resultando

W_{fnc}=\sum_{l=1}^{m}{\int{\vec{F’}_l}\sdot d\vec{r}}

e a energia mecânica é difinida como

\Delta E=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\frac{1}{2}mv_{i}^{2}+\sum_{k=1}^{n}{ \left(U_{k,f}- U_{k,i}\right)}

\Delta E=\frac{1}{2}mv_{f}^{2} +\sum_{k=1}^{n}{U_{k,f}}- \left[ \frac{1}{2}mv_{i}^{2}+\sum_{k=1}^{n}{ U_{k,i}} \right]

\Delta E=E_f-E_i

Onde a energia mecânica é definida como

E=\frac{1}{2}mv^{2} +\sum_{k=1}^{n}{U_{k}}

Podemos enunciar a Lei da Conservação da Energia como a variação da energia mecânica de uma partícula em qualquer intervalo de tempo é igual ao trabalho realizado pela soma de todas as forças nao-conservativas que agem sobre a partícula.

W_{fnc}=\Delta E

Fica bastante claro que, quando não há forças dissipativas, ou seja, forças não-conservativas atuando sobre a partícula de massa m, a energia mecânica conservada

W_{fnc}=0 \\ \Delta E=0

logo,

\frac{1}{2}mv_{f}^{2} +\sum_{k=1}^{n}{U_{k,f}} = \frac{1}{2}mv_{i}^{2}+\sum_{k=1}^{n}{ U_{k,i}}

ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL

\Delta U_g=mg(z_f-z_i)=mg(h_f-h_i)

\Delta U_g=Gm_1m_2 \left( \frac{1}{r_f}-\frac{1}{r_i}\right)

ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA

Em uma dimensão, ou seja, ao longo do eixo x

\Delta U_e=\frac{1}{2}k(x_{f}^{2}-x_{i}^{2})

APLICAÇÕES

REFERÊNCIAS

HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia. Edição: 12 ed. São Paulo (SP): Pearson Universidades, 2010.

NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica: Mecânica. Edição: 5 ed. São Paulo – SP: Blucher, 2013.

RESNICK, R.; WALKER, J.; HALLIDAY, D. Fundamentos de Física – Volume 1 – Mecânica. Edição: 10 ed. Rio de Janeiro – RJ: LTC, 2016.

SERWAY, R.; JEWETT, J. Princípios de física – vol. I: Volume 1. Edição: 2 ed. São Paulo-SP. Cengage Learning, 2014.

YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física de Sears & Zemansky: Volume I: Mecânica: Volume 1. Edição: 14 ed. São Paulo – SP: Pearson Universidades, 2015.