Ondas Transversais

Uma onda mecânica é uma perturbação energítica que se desloca através de um meio material, no qual a onda se propaga.

Ondas não transportam materia, a energia se propaga de molécula a molécula ao longo do meio material por onde a perturbação energética é transmitida.

A forma mais simples de uma onda é a onda transversal, gerada por um Oscilador Hmarmônico Simples (OHS), posicionado ao longo do eixo y, preso a uma corda com densidade de massa $\mu = \frac{dm}{dl}$ , que sofre uma tensão F, conforme verificamos na animação abaixo

O ponto azul descreve o movimento do OHS que, como sabemos, é descrito pela equação a seguir

y(t)=A\sin{(wt+\phi)}

No entanto, como podemos verificar na animação, todos os pontos da onda, ao longo do eixo x, movem-se também na vertical, ponto vermelho em destaque, logo a função que descreve a onda transversal é do tipo

y(x,t)=A\sin(\alpha x-\omega t+\phi)

Devemos determinar o valor de $\alpha$ , sabendo que todo o argumento da finção seno é adimensional,

\begin{cases} \displaystyle {\omega = \frac{2\pi}{T}= 2\pi f }, & \quad \text{frequência angular} \\ \displaystyle {\alpha = k = \frac{2\pi}{\lambda}}, & \quad \text{número de onda} \end{cases}

podemos demostrar a equação do número de onda, considerando que a fase da função seno igual a zero e obtendo as relações por meio das definições a seguir

Com que velocidade a energia se propaga ao longo do meio material? para responder essa pergunta basta considerar que a onda levará o tempo T (período) para concluir um ciclo e que a distância que o pulso de energia se movimentou é igual ao comprimento de onda $\lambda$ (a distância de dois picos consecutivos ou a distância de dois vales consecutivos), logo

v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\lambda}{T}=\lambda f

assim,

\alpha x-\omega t=0 \\ .\\ \alpha = \frac{\omega t}{x}=\frac{2\pi}{T}\frac{t}{x}=\frac{2\pi}{T}\frac{1}{v}=\frac{2\pi}{T}\frac{T}{\lambda} \\ .\\ \alpha=k=\frac{2\pi}{\lambda}

Vamos considerar que a onda transversal será produzida em uma corda de comptimento L, tensionada pela força F e com densidade de massa linear dada por $\mu=\frac{dm}{dl}=\frac{\delta m}{\delta l}$ , veja figura

A força resultante exercida sobre essa porção da corda será

\begin{cases} F_{2x} - F_{1x} = \delta m. a_{x}, & \quad a_{x}=0\\ F_{2y} - F_{1y} = \delta m. a_{y}, & \quad a_{y}=\frac{\partial^2y}{\partial t^2} \end{cases}

como a porção de massa $\delta m$ não se move ao longo do eixo x, tem-se que $F_{1x}=F_{2x}=F$ , considerando-se que $\cos \theta \approx1$ e $\sin \theta\approx \tan \theta \approx \frac{\partial y}{\partial x}$ , alem de $\Delta \theta$ , $\Delta x$ e $\Delta y$ muito pequenos.

\begin{cases} \displaystyle F_{1y}=F \sin(\theta) \simeq F \tan(\theta)=F \left. \frac{\partial y}{\partial x} \right|_{\theta} \\ \displaystyle F_{2y}=F \sin(\theta+\Delta \theta) \simeq F \tan(\theta+\Delta \theta)=F \left. \frac{\partial y}{\partial x} \right|_{\theta+\Delta \theta} \end{cases}

tem-se que

F \left. \frac{\partial y}{\partial x} \right|_{\theta+\Delta \theta}-F \left. \frac{\partial y}{\partial x} \right|_{\theta} = \delta m \frac{\partial^2y}{\partial t^2} \\ .\\ F \left. \frac{\partial y}{\partial x} \right|_{\theta+\Delta \theta}-F \left. \frac{\partial y}{\partial x} \right|_{\theta} = \mu \Delta x \frac{\partial^2y}{\partial t^2} \\ .\\ \frac{ \left. \frac{\partial y}{\partial x} \right|_{\theta+\Delta \theta}- \left. \frac{\partial y}{\partial x} \right|_{\theta}}{\Delta x} = \frac{\mu}{F} \frac{\partial^2y}{\partial t^2}

se tomarmos o limite de $\Delta x \to 0$

\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{\mu}{F}\frac{\partial^2y}{\partial t^2}

dizemos que a equação abaixo é a função da onda transversal

y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\phi)

a equação acima é chamada de equação de movimento da onda transversal, aplicando as derivadas parciais tem-se

\begin{cases} \displaystyle\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=-A \omega^2\sin(kx-\omega t + \phi) \\ .\\ \displaystyle\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=-A k^2\sin(kx-\omega t + \phi) \end{cases}

igualando as derivadas, temos

\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{k^2}{\omega^2}\frac{\partial^2y}{\partial t^2}

Como $v=\lambda f=\frac{2\pi f\lambda}{2\pi}=\frac{\omega}{k}$ , temos que

\frac{1}{v^2}=\frac{k^2}{\omega^2}=\frac{\mu}{F} \\ . \\ v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}

Potência Transportada por uma Onda Transversal

Um oscilador que produz um OHS realiza trabalho e transmite energia à corda, que passa a oscilar. Essa energia, obviamente, não fica armazenada em um ponto da corda, mas, sim, propaga-se com a onda. A força transversal restauradora aplicada $F_{y}$ , no ponto x, a um elemento dx da corda sob tensão F , é

F_{y}=-F \frac{\partial y}{\partial x}

a Potência Instantânea é definida pela equação abaixo, com $v_{y}=\frac{\partial y}{\partial t}$

P_{ot}(x,t)=F_{y}v_{y}=-F \frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t}

logo,

P_{ot}(x,t)=FA^2k\omega\cos(kx-\omega t+\phi)\cos(kx-\omega t+\phi) \\ . \\ P_{ot}(x,t)=FA^2k\omega\cos^2(kx-\omega t+\phi)

A média temporal do $\cos^2(kx-\omega t+\phi)=\frac{1}{2}$ , assim, a potência média será

\bar{P}_{ot}=\frac{1}{2}\omega k F A^2=\frac{1}{2}\mu v \omega^2A^2

Intensidade da onda

A intensidade $I$ de uma onda é uma grandeza física que descreve a quantidade de energia que a onda transporta por unidade de área, em um intervalo de tempo, através de uma superfície perpendicular à direção de propagação, portanto tem-se

I=\frac{\bar{P}_{ot}}{A_{T}}

onde, $\bar{P}_{ot}$ é a potência média da onda e $A_{T}$ é a área perpendicular à direção de propagação da onda.

Como a potência média é dada por

\bar{P}_{ot}=\frac{1}{2}\omega k F A^2=\frac{1}{2}\mu v \omega^2A^2

vamos escrever a densidade linear $\mu$ com relação a densidade volumétrica da corda $\rho$ , assim

\mu=\frac{m}{l} \cdot \frac{A_{T}}{A_{T}}=\frac{m}{lA_{T}}A_{T}=\rho A_{T}

logo, podemos reescrever a equação da potência média na forma

\bar{P}_{ot}=\frac{1}{2}\rho A_{T} v \omega^2A^2

obtendo-se, para a intensidade da onda transversal na corda, com densidade volumétrica da corda $\rho$ e área da seção transversal da corda $A_{T}$ , como

I=\frac{\bar{P}_{ot}}{A_{T}}=\frac{1}{2}\rho v \omega^2A^2

Interferência de Ondas e o Princípio da Superposição

Da mesma forma que acontece com as forças que atuam sobre um corpo de massa m, o princípio da superposição é aplicado ao estudo das ondas. A soma vetorial de todas as forças (princípio da superposição) atuando sobre um corpo de massa m é igual a força resultante, nas ondas a soma das funções de onda (princípio da superposição) ocasionam o fenômeno de interferência das ondas, logo, podemos dizer que o princípio de superposição, também conhecido como propriedade de superposição, afirma que, para todos os sistemas lineares, a resposta líquida causada por dois ou mais estímulos é a soma das respostas que teriam sido causadas por cada estímulo individualmente.

Tomemos duas ondas de mesma amplitude A, mesma frequência $\omega$ e mesmo comprimento de onda $\lambda$ , mas com constantes de fase diferentes, dizemos então que as ondas estão defasadas

\begin{cases} y_{1}=A\sin(kx-\omega t+\phi_{1}) \\ y_{2}=A\sin(kx-\omega t+\phi_{2}) \end{cases}

É possível estudarmos os efeitos quando as ondas se interferem, aplicando o princípio da superposição que nos dá

y=y_{1}+y_{2} \\ . \\ y=A\sin(kx-\omega t+\phi_{1})+A\sin(kx-\omega t+\phi_{2})

utilizando a identidade $\sin \theta + \sin \gamma = 2\sin {\frac{\theta+\gamma}{2}}\cos {\frac{\theta-\gamma}{2}}$

façamos

\begin{cases} \theta=kx-\omega t+\phi_{1} \\ \gamma=kx-\omega t+\phi_{2} \end{cases}

portanto,

\begin{cases} \displaystyle\frac{\theta+\gamma}{2}=kx-\omega t + \phi_{R}, & \text{onde }\phi_{R}=\displaystyle\frac{\phi_{1}+\phi_{2}}{2} \\ \displaystyle\frac{\theta-\gamma}{2}=\frac{\Delta \phi}{2}, & \text{onde }\Delta\phi=\phi_{1}-\phi_{2} \end{cases}

dizemos que $\phi_{R}$ é a constante de fase da onda resultante e que $\Delta\phi$ é a diferença de fase das ondas, assim a forma da onda resultante é

y(x,t)=2A\cos{\frac{\Delta\phi}{2}}\sin(kx-\omega t+\phi_{R})

nota-se que a nova amplitude resultante é

A_{R}=2A\cos{\frac{\Delta\phi}{2}}

A Interferência Construtiva é determinada quando a amplitude resultante assume o seu maior valor, que ocorre quando $\cos \frac{\Delta\phi}{2}=\pm 1$ , logo

\frac{\Delta\phi}{2}=0,\pi, 2\pi,3\pi\dots \\. \\ \frac{\Delta\phi}{2}=n\pi, \quad\text{com }n=0,1,2,3 \dots

A Interferência Destrutiva ocorre quando $\cos{\frac{\Delta\phi}{2}}=0$ , logo

\frac{\Delta\phi}{2}=\frac{\pi}{2}, 3\frac{\pi}{2}, 5\frac{\pi}{2} \dots \\. \\ {\Delta\phi}=m\pi, \quad\text{com }m=1,3,5 \dots

Testando a teoria em uma simulação no GeoGebra.

Consideremos o caso em que a corda está fixa nas duas extremidades, quando produzimos a onda na corda esta se propaga na direção x positivo e é refletida, defasando em $\pi$ , e se movendo na direção x negativo, na prática tem-se

\begin{cases} y_{1}=A\sin(kx-\omega t) \\ y_{2}=A\sin(kx+\omega t) \end{cases}

com a onda resultante dada por

y(x,t)=2A\sin{(kx)}\cos{(\omega t)}

Onde a amplitude resultante é dada por

A_{R}=2A\sin{kx}

A Interferência Construtiva é determinada quando a amplitude resultante assume o seu maior valor, que ocorre quando $\sin kx=\pm 1$ , logo

kx=\frac{\pi}{2}, 3\frac{\pi}{2}, 5\frac{\pi}{2} \dots \\. \\ \frac{2\pi}{\lambda}x=m\frac{\pi}{2}, \quad\text{com }m=1,3,5 \dots \\ . \\ x=m\frac{\lambda}{4}, \quad\text{com }m=1,3,5 \dots

A equação acima localiza a posição dos antinós. Se tomarmos a distância de dois antinós consecutivos teremos

x_{m+2}-x_{m}=(m+2)\frac{\lambda}{4}-m\frac{\lambda}{4} \\. \\ x_{m+2}-x_{m}=\frac{\lambda}{2}

A Interferência Destrutiva ocorre quando $\sin kx=0$ , logo

kx=0,\pi,2\pi,3\pi \dots \\. \\ \frac{2\pi}{\lambda}x=n\pi, \quad \text{com }n=0,1,2,3 \dots \\. \\ x=n\frac{\lambda}{2}, \quad \text{com }n=0,1,2,3 \dots

A equação acima localiza a posição dos nós. Esta forma de onda é chamada de onda estacionária, pois o ponto de interferência destrutiva é localizado em pontos fixos. Se tomarmos a distância de dois antinós consecutivos teremos

x_{n+1}-x_{n}=(n+1)\frac{\lambda}{2}-n\frac{\lambda}{2} \\. \\ x_{n+1}-x_{n}=\frac{\lambda}{2}

Conclui-se que a distância entre dois nós consecutivos é igual a meio comprimento de onda, desta forma, podemos obter um conjunto de frequências de ressonância chamadas de modos normais de vibração, a onda estacionária só se forma nestes valores de frequência, veja a figura abaixo

O primeiro modo de vibração n=1 é chamado de primeiro harmônico ou harmônico fundamental, todos os outros padrões são múltiplos inteiros deste, assim, quando $n=2$ dizemos que este é o segundo harmônico ou primeiro sobretom, quando $n=3$ temos o terceiro harmônico ou o segundo sobretom e assim por diante. Note que conforme a figura acima o valor de $n$ representa o número de antinós do padrão de vibração.

n\frac{\lambda}{2}=L \\. \\ \lambda = \frac{2L}{n}, \quad \text{onde }n=1,2,3 \dots

Sabendo-se que,

f_{n}=\frac{v}{\lambda} \\. \\ f_{n}=n\frac{v}{2L}=n\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{F}{\mu}}

A frequência fundamental é dada por

f_{1}=\frac{v}{2L}=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{F}{\mu}}

Princípio da superposição de Ondas Progressivas Harmônicas com Amplitudes e Constantes de Fase Diferentes

Tomemos duas ondas progressivas com a mesma frequência, mas com amplitudes e constantes de fase diferentes, a forma das funções de onda são

\begin{cases} y_{1}(x,t)=A_{1}\sin(kx-\omega t +\phi_{1}) \\ y_{2}(x,t)=A_{2}\sin(kx-\omega t +\phi_{2}) \end{cases}

considerando que o termo comum $kx-\omega t$ aparece nas duas ondas, a diferença de fases $\Delta \phi$ está relacionada às constantes de fase com $\Delta \phi=\phi_{2}-\phi_{1}$ , assim, utilizando-se o princípio da superposição temos a onda resultante dada por

y(x,t)=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t)

No diagrama abaixo, podemos visualizar as relações geométricas entre os fasores de cada onda

Na figura, o fasor verde representa a função de onda $y_{1}(x,t)$ e o fasor azul representa a função de onda $y_{2}(x,t)$ , e o fasor vermelho é a onda resultante $y(x,t)$ que terá a amplitude $A$ . Os ângulos $\delta$ e $\tau$ são iguais e o ângulo $\gamma=\Delta \phi=\phi_{2}-\phi_{1}$ , onde $\delta=\tau=180°-\gamma=180°-\Delta\phi$ .

Utilizando-se a Lei dos Cossenos para determinar a amplitude da onda resultante, temos

A^2=A_{1}^2+A_{2}^2-2A_{1}A_{2}\cos(\delta)\\. \\ A^2=A_{1}^2+A_{2}^2-2A_{1}A_{2}\cos(180°-\Delta\phi)

sabendo que $\cos(a-b)=\cos a \cos b + \sin a \sin b$ , logo

A^2=A_{1}^2+A_{2}^2+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta\phi)

A função de onda da onda resultante será

y(x,t)=A\sin(kx-\omega t +\phi_{1}+\beta)

para determinarmos o ângulo $\beta$ basta utilizarmos a Lei dos Senos, obteremos

\frac{\sin \beta}{A_{2}}=\frac{\sin \tau}{A} \\ \\ \sin \beta=\frac{A_{2}}{A} \sin \Delta\phi

Podemos obter a equação da intensidade da onda resultante, que é dada por

I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos(\Delta \phi)

No caso de uma interferência construtiva, teremos

I_{max}=(\sqrt{I_{1}}+\sqrt{I_{2}})^2, \quad \Delta \phi=2n\pi; \quad n=0, \pm1, \pm2,...

E para o caso de uma interferência destrutiva, teremos

I_{min}=(\sqrt{I_{1}}-\sqrt{I_{2}})^2, \quad \Delta \phi=(2n+1)\pi; \quad n=0, \pm1, \pm2,...

Reflexão de Ondas Transversais em 1D

Consideramos um pulso transversal propagando-se em um corda vibrante de dimensão finita na direção x negativa e é representada pela função

y_{1}(x,t)=\frac{b^3}{b^2+(x+vt-4)^2}

A segunda onda se propagará no sentido x positivo e é representada por

y_{2}(x,t)=\frac{b^3}{b^2+(x-vt+4)^2}

A onda resultante representará a reflexão em uma haste, como veremos nos vídeos a seguir.

Assumimos que a extremidade presa está localizada no ponto x = 0. A função resultante será

y(x,t)=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t)

Esta condição de contorno, em qualquer instante, é expressa por

y(0,t)=0

Podemos concluir, observando o comportamento do pulso resultante, que a reflexão em uma extremidade fixa provoca uma defasagem de 180° graus.

Quando a extremidade está livre, a tensão neste ponto não pode ter nenhuma componente $F_{y}$ na direção y perpendicular à direção x da corda em repouso, o que traduzimos pela nova condição de contorno

-F\frac{\partial y (0,t)}{\partial x}=0

Quando ocorre uma reflexão numa extremidade livre, um pulso se reflete sem sofrer inversão, isto é, sem mudança de fase.

Esse comportamento terá uma influência profunda na formação dos modos normais de vibração ou como dizemos, nas frequência de ressonância e nas formas dos harmônicos.