Movimento 1D – FIZIKO

A parte da mecânica que estuda a descrição dos movimentos é chamada de cinemática e aquela que estuda as causas dos movimentos, de dinâmica.

Partícula ou Ponto Material é o tipo de corpo mais simples que pode-se imaginar. Possui dimensões desprezíveis, é um corpo que em situações específicas pode ser considerado como um ponto no espaço.

Um Sistema Físico é qualquer parte do universo bem definida.

Um Sistema de Partículas é um conjunto de partículas que forma um sistema físico.

um corpo rígido é um conjunto de partículas cuja distância entre qualquer par de partículas do conjunto permanece sempre a mesma.

Um Sistema Rígido é um sistema qualquer de partículas cuja distância entre qualquer par de suas partículas permanece sempre a mesma.

A reta na qual foram específicadas a origem, os semi-eixos positivo e negativo e a correspondência entre pontos e números é chamada de um Eixo Coordenado.

Um Sistema de Coordenadas é caracterizado por três eixos coordenados OX, OY e OZ, ortogonais entre si e com origem comum O.

Dizemos que a trinca de coordenadas dá a Posição da partícula em relação a OXYZ.

Um Referencial é uma estrutura para medir posições e instantes de tempo e é formado por um sistema de coordenadas, junto com as réguas e os relógios.

Um Observador é um agente fixo em um referencial e é capaz de realizar medições. O observador pode ser uma pessoa ou um aparelho programado para medir. É conveniente supor que os relógios estão sincronizados em um dado referencial para que haja um único instante do tempo atribuido a um dado evento.

Dizemos que uma partícula está em Movimento em relação a um referencial quando sua posição em relação ao referencial muda com o passar do tempo.

Partícula em Movimento 1D

Podemos considerar qualquer eixo coordenado para representar um movimento em uma dimensão (Movimento 1D). Para facilitar nosso estudo, iremos representar a posição da uma partícula que se move na direção x pela notação

\begin{cases} { x }_{ 1 },\quad em \quad { t }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 },\quad em \quad { t }_{ 2 } \end{cases}

Deslocamento é a diferença entre a posição final da partícula e a posição inicial da partícula.

\Delta x={ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 }

Como sabemos, na Física existem dois tipos de grandezas, as Grandezas Escalares que são representadas apenas por um número, ou valor numérico e as Grandezas Vetoriais que são representadas por um módulo (valor numérico), uma direção e um sentido.

O deslocamento é uma grandeza vetorial, Δx indica o módulo e a direção, enquanto que o sinal irá indicar o sentido. O mesmo vale para Δy e Δz.

A Velocidade Média é a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo decorrido.

{ v }_{ m }=\frac { \Delta x }{ \Delta t } =\frac { { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } }{ { t }_{ 2 }-{ t }_{ 1 } }

No Sistema Internacional de Unidades e Medidas (SI) o espaço é medido em metros (m) e o tempo é medido em segundos (s) , logo a velocidade será dada em metros por segundo (m/s).

A Velocidade Instantânea é definida como o limite da razão Δx/Δt da partícula quando o tempo tende a zero, ou ainda, é a derivada da posição da partícula em relação ao tempo. Determina a mudança do espaço conforme passa o tempo.

{ v }=\lim _{ \Delta t\rightarrow 0 }{ \frac { \Delta x }{ \Delta t } } =\frac { dx }{ dt }

{ v }=\lim _{ \Delta t\rightarrow 0 }{ \frac { x(t+\Delta t)-x(t) }{ \Delta t } } =\frac { dx }{ dt }

A Aceleração média é a razão entre a variação da velocidade e o tempo decorrido.

{ a }_{ m }=\frac { \Delta v }{ \Delta t } =\frac { { v }_{ 2 }-{ v }_{ 1 } }{ { t }_{ 2 }-{ t }_{ 1 } }

No Sistema Internacional de Unidades e Medidas (SI) o espaço é medido em metros (m) e o tempo é medido em segundos (s) , a velocidade dada em metros por segundo (m/s) e a aceleração será dada em metros por segundo ao quadrado (m/s²).

A Aceleração Instantânea é definida como o limite da razão Δv/Δt da partícula quando o tempo tende a zero, ou ainda, é a derivada da velocidade da partícula em relação ao tempo. Determina a mudança da velocidade conforme passa o tempo.

{ a }=\lim _{ \Delta t\rightarrow 0 }{ \frac { \Delta v }{ \Delta t } } =\frac { dv }{ dt }

{ a }=\lim _{ \Delta t\rightarrow 0 }{ \frac { v(t+\Delta t)-v(t) }{ \Delta t } } =\frac { dv }{ dt }

Movimento Retilíneo Uniforme – MRU

Temos um MRU quando a velocidade da partícula é constante e sua aceleração é nula. Como o nome informa, a partícula não executa movimentos curvilíneos. É o movimento mais somples de todos.

A Função de Movimento da partícula em MRU é a regra que descreve a posição da partícula em cada instante de tempo.

x(t)=x_{i}+vt

Onde $x_{i}$ é a posição inicial, $v$ é a velocidade da partícula e $t$ é o instante de tempo.

APLICAÇÃO

Exemplo 1.1 – Vamos considerar uma partícula cujo movimento é descrito pela função de movimento dada por

x(t)=2+5t

onde a posição é dada em metros (m) e o tempo em segundos (s). Quais são (a) a posição da partícula, (b) a velocidade e (c) a aceleração em t = 3s?

x(t=3s)=2+5(3)\\ x(t=3s)=2+15\\ x(t=3s)=17m

Como vemos, a partícula está na posição x = 17m quando t = 3s;

Para calcularmos a velocidade neste instante, tomemos a função

v= \lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t }}\\

v(t)= \lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{[2+5(t+\Delta t)]-[2+5t]}{\Delta t}}\\

v(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{5\Delta t}{\Delta t}}\\

v(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}{5}\\

v(t)=5 m/s

Como vemos, a velocidade da partícula é constante e igual a v = 5 m/s, desta forma a aceleração é nula.

Resolução de Exercício – 01

Movimento Retilíneo Uniformemente Variado – MRUV

Considere agora o movimento retilíneo no qual a velocidade varia uniformemente com o tempo, em outras palavras, a aceleração da partícula é constante.

a=\frac{v_{f}-v_{i}}{t_{f}-t_{i}}\\ v_f-v_i=at\\ v_f=v_i+at

A equação acima é obtida tomando-se o intante de tempo inicial igual a zero e o instante de tempo final igual a im instante qualquer. Esta equação é conhecida como a função horária da velocidade para o MRUV.

A função de movimento da partícula em MRUV é dada por

x_f=x_i+v_it+ \frac{1}{2}at^2

A equação de Torricelli é obtida combinando-se as funções horárias da posição e da velocidade e não é dependente do tempo.

v^2_{f}=v^2_{i}+2a\Delta x

APLICAÇÃO

Exemplo 1.2 – Vamos considerar uma partícula cujo movimento é descrito pela função de movimento dada por

x(t)=2+5t^2

onde a posição é dada em metros (m) e o tempo em segundos (s). Quais são (a) a posição da partícula, (b) a velocidade e (c) a aceleração em t = 3s?

x(t=3s)=2+5(3)^2 \\ x(t=3s)=2+5 \times 9 \\ x(t=3s)=2+45 \\ x(t=3s)=47 m

Como vemos, a partícula está na posição x = 47m quando t = 3s;

Para calcularmos a velocidade neste instante, tomemos a função

v=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}{ \frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t }}

v(t=3s)= \lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{[2+5(3+\Delta t)^2]-[2+5(3)^2]}{\Delta t}}

v(t=3s)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{[2+5(9+6\Delta t+\Delta t^2)]-[2+45]}{\Delta t}}\\

v(t=3s)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{5(6\Delta t+\Delta t^2)}{\Delta t}}\\

v(t=3s)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}{(30+5\Delta t)}\\

v(t=3s)=30 m/s

Temos que a velocidade da partícula no instante t = 3s é de v = 30 m/s.

A velocidade para um instante qualquer é dada por

v= \lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac {x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t }}

v(t)= \lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{[2+5(t+\Delta t)^2]-[2+5t^2]}{\Delta t}}

v(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{[2+5(t^2+2t\Delta t+\Delta t^2)]-[2+5t^2]}{\Delta t}}

v(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{5(2t\Delta t+\Delta t^2)}{\Delta t}}

v(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}{(10t+5\Delta t)}

v(t)=10t

Podemos usar o mesmo procedimento para calcularmos a aceleração instantânea.

a=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}{ \frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t }}

a= \lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{[10(t+\Delta t)]-[10t]}{\Delta t}}

a(t=3s)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{[10t+10\Delta t]-[10t]}{\Delta t}}

a(t=3s)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}{10}

a(t=3s)=10 m/s^2

Neste caso a aceleração é constante e igual a 10 m/s².

Resolução de Exercício – 02

Resolução de Exercício – 03

Resolução de Exercício – 04

Movimento 1D – Formulação Geral

É importante escrevermos as denifições das grandezas da cinemática na formulação que utiliza os conceitos de derivação e integração.

Em um sistema em que o objeto, ou partícula, está se movendo em uma dimensão, podemos definir a aceleração instantânea pela forma descrita abaixo:

a_{x}=\frac{dv_{x}}{dt}

Podemos reescrever a equação acima na forma da integração, que é a operação inversa à derivação,

\int{dv_{x}}=\int{a_{x}dt}

O mesmo vale para a definição de velocidade, temos

v_{x}=\frac{dx}{dt}

Logo, reescrevendo na forma integral

\int{dx}=\int{v_{x}dt}

Para resolvermos a derivada de um monômio, temos que, se m e n são números reais, temos que

\frac{d(mt^n)}{dt}=nmt^{n-1}

e para resolvermos a integral de um monômio, basta realizar as operaçães inversas, assim

\int{mt^n}dt=\frac{mt^{n+1}}{n+1}

A área algébrica sob o gráfico de uma função qualquer em um certo intervalo do domínio e igual à integral da função nesse intervalo.

APLICAÇÃO

Exemplo 1.2 – Considere duas partícula, A e B, se movimentando em linha reta pelo eixo OX, com funções horárias dadas por

x_{A}(t)=-12+8t-3t^2 \\ e \\ a_{B}(t)=\frac{t^3}{3}

Note que, sabemos a função horária da posição para a partícula A e a função horária da aceleração para a partícula B. Queremos encontrar as funções x(t), v(t) e a(t) para ambas as partícula. Iniciaremos com a partícula A, logo

v_{A}(t)=\frac{dx_{A}}{dt}=\frac{d}{dt}(-12+8t-3t^2)=0+8.1t^{1-1}-3.2t^{2-1}=8-6t

v_{A}(t)=8-6t

a derivada de uma constante é zero. A velocidade varia linearmente com o tempo.

Calculando-se a aceleração da partícula A, tem-se

a_{A}(t)=\frac{dv_{A}(t)}{dt}=\frac{d}{dt}(8-6t)=0-6.1t^{1-1}=-6

a_{A}(t)=-6

a aceleração é constante. Note que não estamos utilizando um sistema de unidades. Assim,

\begin{cases} { x }_{ A }(t)=-12+8t-3{ t }^{ 2 } \\ { v }_{ A }(t)=8-6t \\ { a }_{ A }(t)=-6 \end{cases}

Para a partícula B, temos

\int{dv_{B}}=\int{a_{B}(t)dt}

\int_{0}^{v_{B}}{dv_{B}}=\int_{0}^{t}{\frac{t^3}{3}dt}

Neste caso, a velocidade e o tempo iniciais são nulos.

v_{B}(t)=\frac{1}{3} \left ( \frac{t^{3+1}}{3+1} \right)_{0}^{t}=\frac{t^4}{12}

Para determinarmos a função que descreve a posição da partícula, temos

\int{dx_{B}}=\int{v_{B}(t)dt}

\int_{0}^{x_{B}}{dx_{B}}=\int_{0}^{t}{\left ( \frac{t^4}{12} \right) dt}

x_{B}(t)=\frac{1}{12}\left (\frac{t^{4+1}}{4+1}\right)_{0}^{t}=\frac{t^5}{60}

a posição e o tempo iniciais são nulos. Portanto,

\begin{cases} { x }_{ B }(t)=\frac{ t^5 }{ 60 } \\ { v }_{ B }(t)=\frac{t^4}{12} \\ { a }_{ B }(t)=\frac{t^3}{3} \end{cases}

Resolução de Exercício – 04

Resolução de Exercício – 05

Movimento de Queda Livre

De uma forma genérica, dizemos que um corpo está executando um movimento de queda livre se o seu movimento for vertical, isto é, se tiver a direção que passe pelo centro da Terra, e se não sofrer nenhuma ação que não seja a da força gravitacional da Terra.

O Movimento de queda livre é uma aplicação do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, pois a aceleração da partícula é aproximadamente constante e igual a

g=9,8 m/s^2

Objeto em queda livre e análise da aceleração da gravidade terrestre.

As equações do movimento de queda livre são dadas pelas equações do MRUV, também são válidas para o chamado movimento vertical, que são

\begin{cases} g=9,8 m/{ s }^{ 2 } \\ { y }_{ f }={ y }_{ i }+{ v }_{ iy }t-\frac { 1 }{ 2 } g{ t }^{ 2 } \\ { v }_{ fy }={ v }_{ iy }-gt \\ { v }_{ fy }^{ 2 }={ v }_{ iy }^{ 2 }-2g\Delta y \end{cases}

Resolução de Exercício – 06

Resolução de Exercício – 07

Resolução de Exercício – 08

Obrigado e bons estudos!

BIBLIOGRAFIA

HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia. Edição: 12 ed. São Paulo (SP): Pearson Universidades, 2010.

NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica: Mecânica. Edição: 5 ed. [s.l.] Blucher, 2013.

RESNICK, R.; WALKER, J.; HALLIDAY, D. Fundamentos de Física – Volume 1 – Mecânica. Edição: 10 ed. [s.l.] LTC, 2016.

SERWAY, R.; JEWETT, J. Princípios de física – vol. I: Volume 1. Edição: 2 ed. [s.l.] Cengage Learning, 2014.

YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física de Sears & Zemansky: Volume I: Mecânica: Volume 1. Edição: 14 ed. [s.l.] Pearson Universidades, 2015.