OSCILAÇÕES

OSCILAÇÕES SIMPLES

Uma função f:ℝ→ℝ é dita periódica de período T (também chamada de T-periódica) se existe uma constante positiva T tal que

f(t) = f(t+T)

para todo t ∈ ℝ.

Algumas funções periódicas admitem um menor período, chamado de período fundamental. A frequência fundamental é então dada por f=1/T e a frequência angular fundamental é dada por w_f = 2πf.

Oscilador Massa-Mola

Utilizando-se a segunda Lei de Newton e analisando as força que atuam no corpo de massa m, podemos verificar que há sobre a massa uma força peso P, uma força elástica F_el, a força normal N e sem força de atrito entre o bloco e a superfície.

logo, aplicando a Segunda Lei de Newton

\vec{F}_{R} = m \vec{a} \\
\vec{F}_{el} + \vec{P} + \vec{N} = m \vec{a} \\

como a força peso P é igual a força normal N

\vec{F}_{el} = m \vec{a}

considerando o movimento em uma dimensão 1D, tem-se

-kx = m \frac{d^2x}{dt^2} \\
\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0

a equação acima é chamada de equação de movimento do oscilador harmônico simples OHS, defini-se a frequência angulardo oscilador massa-mola por

\omega^2=\frac{k}{m}

portanto, pode-se escrever que

\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0

Uma possível solução para a equação de movimento do OHS é a função

x(t) = A \cos (\omega t + \theta_{0})

Faça a prova!

Pode-se determinar a velocidade e a aceleração do OHS, logo

v_{x} = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \theta_{0}) \\
v_{x,max} = A \omega

a_{x} = \frac{dv_{x}}{dt} = -A\omega^2 \cos(\omega t + \theta_{0})\\
a_{x,max} = A \omega^2

Obtendo relações entre as grandezas

\sin^2 \theta +\cos^2 \theta = 1  \\
\left(-\frac{v_{x}}{A \omega}\right)^2 + \left(\frac{x}{A}\right)^2 = 1 \\

\left(\frac{v_{x}}{ \omega}\right)^2 + x^2 = A^2

e

\sin^2 \theta +\cos^2 \theta = 1  \\
\left(-\frac{v_{x}}{A \omega}\right)^2 + \left(-\frac{a_{x}}{A\omega^2}\right)^2 = 1 \\

v_{x}^{2} + \left(\frac{a_{x}}{\omega}\right)^2 = A^2 \omega^2

Energia no OHS

A energia cinética de um corpo em movimento é determinada pela expressão

E_{C} = \frac{1}{2}mv^2

Como vimos acima, a velocidade de um oscilador harmônico varia com o tempo e é descreita por uma função periódica, logo

E_{C} = \frac{1}{2} m \left[-A \omega \sin (\omega t + \theta_{0}) \right]^2 \\ ou \\
E_{C} = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2 (\omega t + \theta_{0})

A energia potencial no sistema massa-mola é elástica, portanto

U = \frac{1}{2} k x^2 

Como sabemos, a posição de um oscilador harmônico varia com o tempo e é uma função periódica, assim

U = \frac{1}{2} k \left[ A \cos (\omega t + \theta_{0}) \right]^2 \\
ou
\\
U = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2 (\omega t + \theta_{0})

A energia mcânica ao contrário do que se espera não varia com o tempo, mantendo-se constante, dada por

E = E_{C} + U

E =  \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2 (\omega t + \theta_{0}) + \frac{1}{2} k A^2 \cos^2 (\omega t + \theta_{0})

Se utilizarmos a expressão,

\omega^2 m=k 

logo,

E = \frac{1}{2} A^2k \sin^2(\omega t + \theta_{0}) + \frac{1}{2} A^2 k \cos^2(\omega t + \theta_{0}) 

Utilizando-se

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

temos,

E = \frac{1}{2} kA^2 = \frac{1}{2}mA^2 \omega^2

OSCILAÇÕES AMORTECIDAS

Chamamos de amortecimento a diminuição da amplitude provocada por uma força dissipativa e de oscilação amortecida o movimento correspondente.

Se considerarmos o sistema massa-mola submetido a uma força dissipativa proporcional à velocidade, do tipo

\vec{F}_{d} = -b\vec{v} 

A equação de movimento para este oscilador dependerá da força elástica e da força dissipativa

\vec{F}_{R} = \vec{F}_{el} + \vec{P} + \vec{N} + \vec{F}_{d} = m\vec{a}

como a força peso se anula com a força normal, tomando-se o sistema oscilando ao longo do eixo x, em movimento 1D, tem-se

-kx-bv_{x}=m\frac{d^2x}{dt^2}

Reescrevendo a equação acima,

\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{b}{m}\frac{dx}{dt} + \frac{k}{m}x = 0

Uma boa prática é definirmos o operador matemático

D = \frac{d}{dt} \\
\text{e} \\
D^2 = \frac{d^2}{dt^2}

pode-se escrever a equação de movimento na forma

D^2x + \frac{b}{m}Dx + \frac{k}{m}x = 0 \\
\text{logo,} \\
\left(D^2 + \frac{b}{m}D + \frac{k}{m}\right)x = 0

Resolvendo a equação do segundo grau dentro dos parenteses, temos

D = - \frac{b}{2m} \pm \sqrt{\left( \frac{b}{2m}\right)^2-\frac{k}{m}}

O termo da frequência pura do oscilador ω₀, sem a influência do amortecimento é predominante, e dado por

\omega_{0}^2 = \frac{k}{m} 

Ajustando a equação de D, teremos

D = -\frac{b}{2m} \pm \sqrt{-1}\sqrt{\omega_{0}^2 - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}

com

i = \sqrt{-1}

A equação acima apresenta dois valores para D, o que nos sugere que uma possível solução é uma combinação linear de exponenciais complexas de t, assim,

x(t) = C_{1}\exp(D_{1}t) + C_{2}\exp(D_{2}t)

teremos,

x(t) = C_{1}\exp{\left[t \left( -\frac{b}{2m}+i\sqrt{\omega_{0}^2-\left( \frac{b}{2m}  \right)^2} \right) \right]} + \\ +C_{2}\exp{\left[t \left( -\frac{b}{2m}-i\sqrt{\omega_{0}^2-\left( \frac{b}{2m}  \right)^2} \right) \right]}

Utilizando-se a condição de que,

C_{1} = C_{2} = \frac{A}{2}

podemos reescrever a equação acima como,

x(t) = \frac{A}{2} \exp{\left( -\frac{b}{2m}t\right)} \exp{\left[t \left( +i\sqrt{\omega_{0}^2-\left( \frac{b}{2m}  \right)^2} \right) \right]} + \\ +\frac{A}{2} \exp{\left( \frac{b}{2m}t\right)} \exp{\left[t \left( -i\sqrt{\omega_{0}^2-\left( \frac{b}{2m}  \right)^2} \right) \right]}

simplificando,

x(t) = \frac{A}{2} \exp{\left( -\frac{b}{2m}t \right)} \left\{ \exp{(+it\omega')} + \exp{(-it\omega')} \right\}

onde ω’ é a frequência angular do oscilador amortecido, dada por

\omega' = \sqrt{\omega_{0}^2 - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}

Utilizando a identidade

\cos{z} = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}

Logo, acrescentando a influência da constante de fase θ₀

x(t) = \displaystyle{A e^{-\frac{b}{2m}t}\cos{(\omega' t + \theta_{0})}}

A equação acima é a uma solução da equação de movimento do Oscilador Amortecido, deixaremos que o estudante tire a prova.

Podemos realizar o estudo da frequência do oscilador amortecido, vemos que quando o valor de b é menor que o valor crítico, que é

\text{se }\omega' \rightarrow 0 \text{, temos que, } \frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2} = 0

e o valor crítico de b é dado por

b = 2\sqrt{km}

Na condição acima de b, tem-se um amortecimento crítico.

Para b menor que o valor crítico, a condição denomina-se subamortecimento.

A condição onde b é maior que o valor crítico corresponde ao superamortecimento.

Nas oscilações amortecidas, a força do amortecimento não é conservativa; a energia mecânica do sistema não é constante e diminui continuamente, tendendo a zero depois de um longo tempo.

A taxa de variação da energia pode ser calculada utilizando-se

\frac{dE}{dt} = \frac{dE_{C}}{dt} + \frac{dU_{el}}{dt}

as derivadas são

\frac{dE}{dt} = \frac{1}{2}m \left(2v \frac{dv}{dt}\right) + \frac{1}{2}k \left(2x\frac{dx}{dt} \right)

simplificando

\frac{dE}{dt} = v \left( m \frac{dv}{dt} + kx\right)

o termo dentro dos parenteses é obtido pela equação de movimento, logo

m \frac{dv}{dt} + kx = -bv

assim,

\frac{dE}{dt} = -bv^2

A equação acima informa que, a taxa de variação da energia mecânica total é igual ao negativo da taxa com a qual a força do amortecimento realiza trabalho sobre o sistema.

PÊNDULO SIMPLES

O pêndulo smples é um modelo físico ideal, leva em consideração o comportamento de uma partícula de massa m presa em um fio de comprimento L com massa desprezível e inextensível, com a outra extremidade do fio presa em um ponto fixo.

A partícula é levemente puxada para a lateral, produzindo um deslocamento angular θ, removendo-a de seu estado de equilíbrio. Neste ponto, a força peso atua como uma força restauradora, fanzendo a partícula retornar ao seu ponto de equilíbrio, desprezando-se a força de arrasto do ar, a energia inicial imprimida ao pêndulo é conservada fazendo com que a partícula execute um movimento periódico, ver figura.

Como vemos na figura, a partícula executa ummovimento circular de raio L, desta maneira podemos escrever que o valor de x é dado por

x = \theta L

A componente tangencial do peso é a força restauradora, portanto

F_{t}=-mg\sin{\theta}

Destaca-se ainda, a força tangencial como sendo o produto da massa da partícula por sua aceleração tangencial a_t dada por

\displaystyle{F_{t}=ma_{t}}\\
.
\\
\displaystyle{a_{t}=\frac{d^2x}{dt^2} }\\  
.  \\
\displaystyle{a_{t}=L \frac{d^2 \theta}{dt^2}}

A equação de movimento do pêndulo simples é dada por

mL \frac{d^2\theta}{dt^2}+mg\sin{\theta}=0 \\
. \\
\frac{d^2 \theta}{dt^2}+\left(\frac{g}{L}\right)\sin{\theta}=0

A equação de movimento acima é não-linear e não se caracteriza como um oscilador harmônico simples, no entanto, se utilizarmos o resultado para pequenos ângulos sen(θ) ≈ θ , a equação passa ter as mesmas características do oscilador simples

\frac{d^2 \theta}{dt^2}+\left(\frac{g}{L}\right)\theta=0

Temos, como resultado para a frequência angular ω, quando θ for muito pequeno, a expressão

\omega^2 = \frac{g}{L}

Logo, o período será

T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}

Note que o período das pequenas oscilações não dependa da massa m da partícula.

OSCILAÇÕES FORÇADAS

Oscilação forçada é o movimento de um sistema que oscila sob a influência contínua de uma força externa oscilante $F_{ext}$, diferente de uma oscilação livre (sem força externa) ou amortecida (com atrito). A chave é que uma força externa, como um empurrão periódico em um balanço ou uma vibração, impõe sua própria frequência ao sistema, que passa a oscilar com a frequência dessa força (regime estacionário), e não com sua própria frequência natural, podendo levar à ressonância  quando as frequências coincidem, resultando em amplitudes muito grandes.

A força resultante ao longo da direção x será

m a_{x}=-bv_{x}-kx+F_{ext}

a força externa oscilante tem a forma

F_{ext} = F_{0}cos \omega_{f} t

a equação de movimento ficará

\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{b}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=\frac{F_{0}}{m}\cos \omega_{f} t

logo, com $2\gamma=\frac{b}{m}$ e $\omega_{0}^2=\frac{k}{m}$

\frac{d^2x}{dt^2}+2\gamma\frac{dx}{dt}+\omega_{0}^2 x=\frac{F_{0}}{m}\cos \omega_{f} t

A solução geral é determinada pela combinação linear da solução estacionária $x_{1}$, dada por

x_{1}(t)=A\cos \omega_{f} t + B \sin \omega_{f} t

e a solução transiente $x_{2}$

x_{2}(t)=e^{-\gamma t}(C\cos \omega t+D\sin \omega t)

onde, $\omega = \sqrt{{\omega_{0}}^2-\gamma^2}$

portanto,

x(t)=A\cos \omega_{f} t + B \sin \omega_{f} t + e^{-\gamma t}(C\cos \omega t+D\sin \omega t)

A velocidade do oscilador forçado é

v(x)=\frac{dx}{dt}=-A\omega_{f}\sin \omega_{f} t + B \omega_{f} \cos\omega_{f} t- \\
- \gamma e^{-\gamma t}(C\cos \omega t + D \sin\omega t)+\omega e^{-\gamma t}(C cos \omega t + D \sin \omega t)

Começemos analisando a solução estacionária na seguinte forma

x(t)=A_{0}\sin ({\omega_{f} t- \delta})

podemos reescrever a equação como

x(t)=A_{0}\sin \omega_{f}t \cos \delta-A_{0}\cos\omega_{f}t\sin\delta

Calculando-se a primeira e segunda derivadas, tem-se

\frac{dx}{dt}=A_{0}\omega_{f}\cos\delta\cos\omega_{f}t+A_{0}\omega_{f}\sin\delta\sin\omega_{f}t

também,

\frac{d^2x}{dt^2}=-A_{0}\omega_{f}^2\cos\delta\sin\omega_{f}t+A_{0}\omega_{f}^2\sin\delta\cos\omega_{f}t

Substituindo na equação de movimento, teremos

-A_{0}\omega_{f}^2\cos\delta\sin\omega_{f}t+A_{0}\omega_{f}^2\sin\delta\cos\omega_{f}t+\\ +2\gamma(A_{0}\omega_{f}\cos\delta\cos\omega_{f}t+A_{0}\omega_{f}\sin\delta\sin\omega_{f}t)+\\
+\omega_{0}^2(A_{0}\sin \omega_{f}t \cos \delta-A_{0}\cos\omega_{f}t\sin\delta)=\frac{F_{0}}{m}\cos\omega_{f}t+0\sin\omega_{f}t

Organizando a equação acima e utilizando a indentidade na igualdade,

\left( A_{0}\omega_{f}^2\sin\delta+2\gamma A_{0}\omega_{f}\cos \delta-A_{0}\omega_{0}^2\sin \delta \right)\cos\omega_{f}t+\\
+\left( -A_{0}\omega_{f}^2\cos\delta+2\gamma A_{0}\omega_{f}\sin \delta+A_{0}\omega_{0}^2\cos \delta  \right)\sin\omega_{f}t= \frac{F_{0}}{m}\cos\omega_{f}t+0\sin\omega_{f}t

logo, pela identidade

\begin{cases}
    2\gamma \omega_{f} A_{0}\cos \delta-(\omega_{0}^2-\omega_{f}^2)A_{0}\sin\delta=\frac{F_{0}}{m}       \\
    (\omega_{0}^2-\omega_{f}^2)A_{0}\cos\delta+2\gamma \omega_{f} A_{0} \sin \delta=0
  \end{cases}

Resolvendo o sistema acima por substituição

2\gamma \omega_{f} A_{0}\cos \delta+\frac{(\omega_{0}^2-\omega_{f}^2)^2}{2\gamma\omega_{f}}A_{0}\cos\delta=\frac{F_{0}}{m}       \\
. \\
A_{0}\cos \delta=\frac{2 \gamma \omega_{f}F_{0}}{m \left( (\omega_{0}^2-\omega_{f}^2)^2+4\gamma^2\omega_{f}^2 \right)}

e

A_{0}\sin\delta=-\frac{(\omega_{0}^2-\omega_{f}^2)}{2\gamma\omega_{f}}A_{0}\cos\delta \\
.\\
A_{0}\sin\delta=-\frac{(\omega_{0}^2-\omega_{f}^2)F_{0}}{m \left( (\omega_{0}^2-\omega_{f}^2)^2+4\gamma^2\omega_{f}^2 \right)}

utilizando-se, $\cos^2 \delta + \sin^2\delta =1$

A_{0}^2\cos^2\delta+A_{0}^2\sin^2\delta=\frac{(\omega_{0}^2-\omega_{f}^2)^2-4\gamma^2\omega_{f}^2}{ \left( (\omega_{0}^2-\omega_{f}^2)^2+4\gamma^2\omega_{f}^2 \right)^2}\frac{F_{0}^2}{m^2} \\
.\\
A_{0}=\frac{F_{0}/m}{\sqrt{\left( (\omega_{0}^2-\omega_{f}^2)^2+4\gamma^2\omega_{f}^2 \right)}}

O resultado acima é a amplitude do oscilador forçado com amortecimento.

podemos calcular a relação da constante de fase $\delta$

\tan\delta = \frac{\sin\delta}{\cos\delta}=\frac{\omega_{f}^2-\omega_{0}^2}{2\gamma \omega_{f}}

Para analisarmos o comportamento nos gráficos da amplitude e da constante de fase em função da frequência, fazemos $\tau=\omega_{f}/\omega_{0}$ e $\nu=\gamma/\omega_{0}$

\begin{cases}
   A_{0}m\omega_{0}/F_{0}= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{(1-\tau^2)^2+4\nu^2\tau^2}} \\

   \delta = \arctan\displaystyle\frac{\tau^2-1}{2\nu\tau}

\end{cases}

Comportamento da Amplitude versus a frequência

Nota-se que um pico acentuado vai se formando quando o amortecimento vai tendendo a zero e a frequência da força externa $\omega_{f}$ se iguala a frequência natural do oscilador $\omega_{0}$.

Comportamento da constante de fase versus a frequência

OSCILAÇÃO FÍSICA

O pêndulo físico é um sistema físico descrito por um corpo que ocupa um espaço, um corpo rígido cuja força resultante sobre ele é restauradora, ocasionando um movimento periódico, que em pequenas oscilações descreve um MHS, caracterizado pela equação de movimento abaixo

\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0

A figura a seguir representa um pêndulo físico, podendo assumir qualquer forma 1D, 2D ou 3D, caracterizada por sua distribuição de massa,

\mu = \frac{dm}{dl} \\
.\\
\sigma=\frac{dm}{dA} \\
.\\
\rho=\frac{dm}{dV}

e por seu momento de inércia $I$, definido por

I=\int r^2dm

O corpo pode oscilar livremente ao redor do eixo z e está fixo pelo pivô mostrado na figura, a força peso atua no centro de gravidade (cg) do corpo, que fica localizado logo abaixo do pivô quando o corpo está parado na posição de equilíbrio, localizado a uma distância d do pivô. Deslocando-se o corpo ligeiramente de $\theta$, nota-se que a única força responsável por fazer o objeto retornar a posição de equilíbrio é o peso $\vec{P} = m \vec{g}$, atuando como uma força restauradora, logo o torque resultante $\tau_{R}$ sobre o corpo é

\vec{\tau}_{R}=-\vec{r} \times \vec{F}

onde o módulo do torque resultante é

\tau_{R}=-mgd\sin{\theta}

considerando que o torque resultante é $\tau_{R}=I\alpha_{z}$, tem-se

I \alpha_{z}=-mgd\sin{\theta}

Para pequenas vibrações $\sin\theta \approx \theta$ e considerando que $\alpha_{z} = \frac{d^2\theta}{dt^2}$,

\frac{d^2\theta}{dt^2}+\left( \frac{mgd}{I}\right)\theta=0

portanto, a frequência angular $\omega$ do pêndulo físico é dada por

\omega=\sqrt{\frac{mgd}{I}}

Para ilustrar o comportamento de um pêndulo físico, consideremos uma régua muito fina de um metro de comprimento L = 1m e massa distribuída uniformemente, ocupando apenas um espaço 1D, como na figura (a), e um pêndulo simples de comprimento $L_{0}$ e massa m figura (b).

Sabendo-se que a régua pode oscilar livremente sobre o pivô no ponto O e que seu centro de gravidade coincide com o seu centro de massa em C, e que o momento de inércia da barra girando em torno do ponto O na sua extremidade é $I = \frac{1}{3}mL^2$, e como $d=h=\frac{1}{2}L$, tem-se

\omega=\sqrt{\frac{mgd}{I}}=\sqrt{\frac{mg\frac{L}{2}}{\frac{mL^2}{3}}}=\sqrt{\frac{3g}{2L}}

assim, o período de oscilação do pêndulo físico será

T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}=1,64s

Para que o pêndulo simples da figura (b) oscile com o mesmo período encontrado acima, teremos que

T=2\pi\sqrt{\frac{L_{0}}{g}}=2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}} \\
ou \quad seja\\
L_{0}=\frac{2}{3}L=66,7cm

BIBLIOGRAFIA

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• NUSSENZVEIG, H.M. – CURSO DE FÍSICA BÁSICA, VOL 2, ED. EDGARD BLÜCHER LTDA.
• SERWAY, Raymond A., & JEWETT Jr, John W. PRINCÍPIOS DE FÍSICA: Movimento Ondulatório e Termodinâmica, Volume 2, 3ª Edição. São Paulo: Cengage Learning, 2008.
• TIPLER, Paul A. & MOSCA, Gene. FÍSICA: Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica, Volume 1, 5ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
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