Ondas Longitudinais

As ondas longitudinais são caracterizadas por produzirem oscilações ao longo da direção de propagação do pulso energético, ou seja, se o pulso move-se pelo eixo x positivo, as camadas de matéria se deslocam ao longo do eixo x também, e um bom exemplo dessa onda é o som.

Podemos resumir uma onda sonora se propagando ao longo do ar dizendo que “o deslocamento do fluido muda sua densidade, a mudança de densidade gera uma mudança de pressão e uma variação de pressão gera um deslocamento“.

Em geral, para uma dada massa de fluido M ocupando um certo volume V , um aumento de pressão (∆P > 0) faz com que esta mesma massa M passe a ocupar um volume menor, ou seja, ∆V < 0. Com isso, podemos definir uma grandeza chamada módulo de compressibilidade do fluido $K$

K=-\frac{\Delta V/V}{\Delta P}

onde $-∆V/V$ é a magnitude da variação percentual do volume e o sinal negativo aparece porque ∆V < 0. Para uma dada variação de pressão, quanto maior a variação do volume, maior é $K$, ou seja, mais compressível é o fluido. Também é possível definir $B$, o módulo de elasticidade do fluido

B=\frac{1}{K}=-\frac{\Delta P}{\Delta V/V}

Note que o módulo de elesticidade do fluido tem unidade no SI de pressão (Pa).

Vamos estudar uma onda de deslocamento que se propaga para a direita

u(x,t)=u_{m}\cos(kx-\omega t+\phi)

a onda acima é do tipo harmônica simples com $u_{m}$ sendo a amplitude longitudinal de deslocamento.

Seja $P(x, t)$ a flutuação instantânea da pressão em uma onda sonora para cadaponto x e instante t. Ou seja, $P(x, t)$ fornece a diferença entre a pressão da onda e a pressão atmosférica normal $Pa$. Imagine que $P(x, t)$ seja a pressão manométrica, ela pode ser positiva ou negativa. A pressão absoluta em cada ponto, portanto, é igual a $Pa + P(x, t)$.

Para ver a ligação entre a flutuação de pressão $P(x, t)$ e o deslocamento $u(x, t)$ de uma onda sonora se propagando ao longo do eixo x no sentido positivo, considere um cilindro imaginário de um meio ondulatório (gasoso, líquido ou sólido) com seção reta de área $A$ e eixo ao longo da direção de propagação, como na figura abaixo

Quando não existe nenhuma onda sonora, o comprimento do cilindro é $\Delta x$ e o volume é $V=A\Delta x$, como indicado pelo volume sombreado na Figura. Quando uma onda está presente, no instante t a extremidade que estava inicialmente no ponto $x$ é deslocada para $u(x,t)$, e a extremidade que estava inicialmente no ponto $x+\Delta x$ é deslocada para $u(x+\Delta x,t)$; isso pode ser mostrado pelas setas vermelhas. Quando $u(x+\Delta x,t)>u(x,t)$, o volume do cilindro aumenta, produzindo-se uma diminuição de pressão. Quando $u(x+\Delta x,t)<u(x,t)$, o volume diminui e a pressão aumenta. Quando $u(x+\Delta x,t)=u(x,t)$, o cilindro é simplesmente deslocado para a esquerda ou para a direita, não existe variação de volume nem flutuação de pressão. A flutuação de pressão depende da diferença entre os deslocamentos de pontos vizinhos do meio.

A variação de volume $\Delta V$ do cilindro é

\Delta V=A[u(x+\Delta x,t)-u(x,t)]

No limite $\Delta x \to 0$, a variação relativa de volume de $dV/V$ (variação do volumedividida pelo volume original) é

\frac{dV}{V}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{A[u(x+\Delta x,t)-u(x,t)]}{A\Delta x}=\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}

Tomemos o módulo de elasticidade do fluido $B = – \frac{P(x,t)}{dV/V}$, podemos reescrever a equação acima como

P(x,t)=-B\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}

logo,

P(x,t)=Bku_{m}\sin(kx-\omega t+\phi)

A equação acime é conhecida como onda de pressão e definiremos a amplitude de pressão como

P_{max}=Bku_{m}

Velocidade da Onda Sonora

Usaremos a Segunda Lei de Newto, e também a relaçãoo entre forçaa e pressão. Voltando ao nosso cilindro, podemos analisar o que acontece em uma pequena região que tem área transversal $A$, paralela ao fundo do cilindro, e que se estende perpendicularmente ao fundo desta, como mostrado na Figura. Vamos escolher o eixo x como sendo positivo para a direita.

Como podemos verificar facilmente, a força resultante é restauradora e determinada conforme a equação a seguir

F_{R}=-[\Delta F_{2}-\Delta F_{1}]=-A[P(x+\Delta x,t)-P(x,t)]

escrevemos, então tomando o limite

M\frac{\partial ^2 u(x,t)}{\partial t^2}=-A\Delta x \lim_{\Delta x \to0}\frac{P(x+\Delta x,t)-P(x,t)}{\Delta x}

tem-se, que

\rho \Delta V\frac{\partial ^2 u(x,t)}{\partial t^2}=-\Delta V \frac{\partial P(x,t)}{\partial x}

como $P(x,t)=-B\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}$, concluimos que

\rho \frac{\partial ^2 u(x,t)}{\partial t^2}=B \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}\\.
\\
\frac{\partial ^2 u(x,t)}{\partial t^2}=\frac{B}{\rho} \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}\\.
\\
\frac{\partial ^2 u(x,t)}{\partial t^2}=v^2 \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}

A equação acima é a equação da onda longitudinal, da qual tem-se que a velocidade do som é

v=\sqrt{\frac{B}{\rho}}

Caso o som se propague em um sólido, tem-se

v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}}

onde $Y$ é o Módulo de Young do Material, grandeza tabelada.

Para um gás ideal, a velocidade do som é calculada levando-se em conta a equação de estado do gás ideal

PV^\gamma=const

Calculando $\frac{dP}{dV}$,

\frac{dP}{dV}=-\gamma\frac{const}{V^{\gamma+1}}\\.
\\
\frac{dP}{dV}=-\gamma\frac{PV^\gamma}{V^{\gamma+1}}\\.
\\
\frac{dP}{dV/V}=-\gamma P\\.
\\
B=\gamma P

logo,

v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}

onde $\gamma=\frac{C_{P}}{C_{V}}$. Consideramos o caso do ar, o som se propagará com velocidade de

\gamma=7/5\\
\rho=1,225 kg/m^3\\
P=101kPa\\
v=\sqrt{\frac{7/5*101000}{1,225}}\approx340 m/s

Fazendo-se a análise dimensional, sabendo que $\gamma$ é adimensional, temos

\left[ \frac{Pa}{kg.m^{-3}}  \right]^{1/2}=\left[ \frac{N.m^{-2}}{kg.m^{-3}}  \right]^{1/2}=\\
=\left[ \frac{kg.m.s^{-2}.m^{-2}}{kg.m^{-3}}  \right]^{1/2}=\left[ \frac{m^{2}}{s^{2}}  \right]^{1/2}=\frac{m}{s}

Tabela com algumas velocidades do som nos materiais

Intensidade da Onda Sonora

As ondas sonoras, como todas as ondas progressivas, transferem energia deuma região do espaço para outra. A intensidade de uma onda é igual à potência média por unidade de área transmitida por esta onda.

Vamos supor que tenhamos uma onda sonora propagando-se em umtubo de seção reta A. Podemos escrever o módulo da força exercida sobre uma camada de fluido como

F=P(x,t)A=Bku_{m}A\sin(kx-\omega t+\phi)

A potência instantânea pode ser escrita como o produto da força pela velocidade longitudinal da onda

P_{ot}(x,t)=F\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=Bk\omega u^2_{m}A\sin^2(kx-\omega t+\phi)

A potência média é determinada pela equação

\bar{P}_{ot}=\frac{1}{2}Bk\omega u^2_{m}A

lembrando que a média temporal de seno ao quadrado é 1/2, asim podemos obter a intensidade da onda sonora

I=\frac{\bar{P}_{ot}}{A}=\frac{1}{2}Bk\omega u^2_{m}

removendo na forma da frequência, a equação acima ficará, com $\omega=vk$ e $B=v^2\rho$

I=\frac{\bar{P}_{ot}}{A}=\frac{1}{2}v^2\rho\frac{\omega^2}{v} u^2_{m}\\.
\\
I=\frac{\bar{P}_{ot}}{A}=\frac{1}{2}\rho v\omega^2 u^2_{m}

Nível de Intensidade Sonora

Em vez de nos referirmos à intensidade sonora, utilizamoso nível de intensidade sonora, designado pela letra grega β, que é medido em escala logarítmica. Isto é feito porque o ouvido humano é sensível num intervalo grande de intensidades.

A unidade usada para medir o nível de intensidade sonora é o decibel, que abreviamos por dB. O decibel corresponde a $\frac{1}{10}$ do bel, uma unidade de medida criada em homenangem a Alexander Graham Bell. Alexander Graham Bell nasceu em Edimburgo, na Escócia, em 1847, e morreu em 1922. Inventou o telefone em 1876.

\beta=(10dB)\log_{10}\frac{I}{I_{0}}

onde $I_{0}=10^{-12}W/m^2$ é a intensidade padrão para a qual $\beta=0$, que corresponde ao limiar da audição humana. Para uma intensidade $I=1W/m^2$, o nível de intensidade sonora é 120 dB, que corresponde ao limiar da dor para o ouvido humano.

O que é a altura de um som musical? E a característica que nos permite distinguir entre sons graves e agudos. A voz do Tim Maia é mais grave que a voz da Gal Costa. Mas, qual é a Física por trás disso? A altura de um som está relacionada com a sua frequência: quanto maior a frequência $f$ de uma onda sonora, mais agudo será o som. Por outro lado, sons com frequência baixa são graves.

Se você escutar uma nota Lá, que corresponde a uma frequência de 440 Hz, produzida por um piano, uma flauta, uma guitarra elétrica e um apito de trem, você vai conseguir dizer qual nota Lá foi produzida por cada um dos “instrumentos”. Ninguém confunde um Lá de uma flauta com o de uma guitarra, ou o de um piano com o de um violino! Mesmo que as notas tenham exatamente a mesma intensidadee a mesma altura, ainda é possível distingui-las. O que você talvez não soubesse é que a qualidade que nos permite essa distinção é chamada timbre. O ouvido humano entende, como uma nota Lá, qualquer nota que tenha ν = 440 Hz, independente do perfil da onda. O timbre do som é definido pelas diferentes contribuições de cada um dos tons harmônicos, podemos utilizar a série de Fourrier para dercrever estas ondas complexas.

Podemos estudar a formação de ondas estacionárias em instrumentos de tubos abertos em ambas extremidades, o que nos dará

A formação de ondas estacionárias em instrumentos de tubos aberto em uma extremidade e fechado na outra, nos dará

Superposição de Ondas de Frequências Diferentes: Batimentos

Estudaremos duas ondas sonoras se propagando-se no ar, no mesmo sentido, mas com frequências ligeiramente diferentes, dadas por

u_{1}(x,t)=u_{m}\cos(k_{1}x-\omega_{1} t)\\
u_{2}(x,t)=u_{m}\cos(k_{2}x-\omega_{2} t)

assumindo que,

\Delta \omega=\omega_{2}-\omega_{1} << \bar{\omega}=\frac{\omega_{2}+\omega_{1}}{2}\\. \\
\Delta k=k_{2}-k_{1}<<\bar{k}=\frac{k_{2}+k_{1}}{2}

temos,

u(x,t)=u_{1}(x,t)+u_{2}(x,t) \\
.\\
u(x,t)=u_{m}\cos(k_{1}x-\omega_{1} t)+u_{m}\cos(k_{2}x-\omega_{2} t)\\
.\\
u(x,t)=2u_{m}\cos \left[(k_{2}-k_{1})\frac{x}{2}-(\omega_{2}-\omega_{1})\frac{t}{2} \right]\cos\left( \bar{k}x-\bar{\omega}t\right)\\
.\\
u(x,t)=2u_{m}\cos \left[\Delta k\frac{x}{2}-\Delta \omega\frac{t}{2} \right]\cos\left( \bar{k}x-\bar{\omega}t\right)

Nota-se que a onda representada pela função $u(x,t)$ oscila no tempo com uma frequência $\bar{\omega}$ e que sua amplitude oscila também no tempo, mas com uma frequência $\Delta\omega/2$ muito mais baixa. Existem duas propagações simultâneas: a da onda resultante $u(x,t)$, com velocidade de fase

v=\frac{\bar{\omega}}{\bar{k}}

e a da sua envoltória $U(x,t)=2u_{m}\cos \left[\Delta k\frac{x}{2}-\Delta \omega\frac{t}{2} \right]$, com velocidade de grupo

v_{g}=\frac{\Delta \omega}{\Delta k} \\
.\\
u(x,t)=U(x,t)\cos\left( \bar{k}x-\bar{\omega}t\right)

No caso mais geral de meios definidos como dispersivos, a velocidade de fase não é constante, mas, sim, função do comprimento de onda, isto é, do número de onda, logo, a velocidade de grupo é diferente da velocidade de fase.

Dessa forma, teremos a frequência de batimentos dada por

\omega_{bat}={\Delta \omega}={\omega_{2}-\omega_{1}}\\
.\\
f_{bat}=\Delta f=f_{2}-f_{1}

Interferência de Ondas Sonoras

Consideremos duas ondas sendo emitidas por alto-falantes idênticos, ou seja, ondas idênticas, que podemos representar pelas equações abaixo

u_{1}(x,t)=u_{m}\cos(kr_{1}-wt)\\.
\\
u_{2}(x,t)=u_{m}\cos(kr_{2}-wt)

as distâncias $r_{1}$ e $r_{2}$ poderão ser diferentes e dizemos que $\Delta r = r_{2}-r_{1}$ é a diferença de percurso entre as ondas.

Analisando a interferência das ondas, utilizemos o princípio da superposição das ondas e determinemos a onda resultante, assim

u(x,t)=u_{1}(x,t)+u_{2}(x,t)\\.
\\
u(x,t)=u_{m}\cos(kr_{1}-wt)+u_{m}\cos(kr_{2}-wt)\\.
\\
u(x,t)=2u_{m}\cos \left( {kR-\omega t}\right) \cos \left( \frac{k\Delta r}{2}\right)\\.
\\
u(x,t)=2u_{m}\cos \left(\frac { k\Delta r}{2} \right)\cos \left( {kR-\omega t}\right) 

onde, $R=\frac{r_{1}+r_{2}}{2}$ e a amplitude da onda resultantes é $A_{R}=2u_{m}\cos \left( \frac{k\Delta r}{2}\right)$, nessas condições tem-se que:

Para a interferência construtiva podemos dizer que

\cos \left( \frac{k\Delta r}{2}\right)=\pm1 \\.
\\
\frac{k\Delta r}{2}=0, \pi, 2\pi, 3\pi, ... =n\pi, \quad n=0, 1, 2, ...\\.
\\
\frac{2\pi\Delta r}{2\lambda}=n\pi\\.
\\
\Delta r = n\lambda, \quad n=0, 1, 2,...

Como podemos observar, quando a diferença de percurso for igual a um número inteiro de comprimento de onda, a onda resultante terá a maior amplitude possível.

Para a interferência destrutiva podemos dizer que

\cos \left( \frac{k\Delta r}{2}\right)=0 \\.
\\
\frac{k\Delta r}{2}=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ... =m\frac{\pi}{2}, \quad m=1, 3, 5,...\\.
\\
\frac{2\pi\Delta r}{2\lambda}=m\frac{\pi}{2}\\.
\\
\Delta r = m\frac{\lambda}{2}, \quad m=1, 3, 5,...

Nota-se que, quando a diferença de percurso for igual a um número impar de meio comprimento de onda, a onda resultante é anulada. O estudante deve tomar cuidado com o fato de que uma diferença de percurso igual a meio comprimento de onda defasa as ondas em 180°, veja a figura acima.

Efeito Doppler

O efeito Doppler estuda a mudança da frequência sonora devido ao movimento relativo entre a fonte e o observador, para simplificar os cálculos vamos considerar o movimento em uma dimensão, a fonte e o observador irão se mover ao longo do eixo x.

Considere, inicialmente, que a fonte e o observador estão parados, desta forma a fonte emite um som com frequência $f_{0}$ e sua velocidade será $v_{s}=\lambda f_{0}$. Esta é a mesma frequência que o observador irá detectar. Agora considere que o observador se aproxima da fonte sonora com uma velocidade $v_{O}$, a volocidade do som que chegará ao ouvido do observador será diferente, pois o número de frentes de onda que o observador irá detectar aumentará devido ao movimento relativo do observador com o som, logo,

v_{R}=v_{s}+v_{O}, \quad \text{Observador se aproximando da fonte}

O comprimento de onda do som detectado pelo observador não sofre alteração, assim

v_{R}=\lambda f' =v_{s}+v_{O} \\.
\\
f'=\frac{v_{s}+v_{O}}{\lambda}=\frac{v_{s}+v_{O}}{v_{s}/f_{0}}\\.
\\
f'=f_{0}\frac{v_{s}+v_{O}}{v_{s}}

Considere que o observador se afasta da fonte sonora com uma velocidade $v_{O}$, a volocidade do som que chegará ao ouvido do observador será diferente, pois o número de frentes de onda que o observador irá detectar diminuirá devido ao movimento relativo do observador com o som, logo,

v_{R}=v_{s}-v_{O}, \quad \text{Observador se afastando da fonte}

O comprimento de onda do som detectado pelo observador não sofre alteração, assim

v_{R}=\lambda f' =v_{s}-v_{O} \\.
\\
f'=\frac{v_{s}-v_{O}}{\lambda}=\frac{v_{s}-v_{O}}{v_{s}/f_{0}}\\.
\\
f'=f_{0}\frac{v_{s}-v_{O}}{v_{s}}

Vamos considerar que o observador ficará parado e a fonte se moverá com velocidade $v_{F}$, desta forma, a frequência do som que chegará ao observador será alterada devido ao movimento relativo da fonte e o som, logo, consideremos que a fonte se aproxima do observador, a velocidade relativa será

v_{R}=v_{s}-v_{F}

Relacionando as duas frequências pelas equações abaixo, teremos

v_{R}=v_{s}-v_{F}=\lambda' f_{0}\\.
\\
f'=\frac{v_{s}}{\lambda'}=\frac{v_{s}}{(v_{s}-v_{F})/f_{0}}\\.
\\
f'=f_{0}\frac{v_{s}}{v_{s}-v_{F}}

Consideremos que a fonte se afastando do observador, a velocidade relativa será

v_{R}=v_{s}+v_{F}

Relacionando as duas frequências pelas equações abaixo, teremos

v_{R}=v_{s}+v_{F}=\lambda' f_{0}\\.
\\
f'=\frac{v_{s}}{\lambda'}=\frac{v_{s}}{(v_{s}+v_{F})/f_{0}}\\.
\\
f'=f_{0}\frac{v_{s}}{v_{s}+v_{F}}

Para o caso geral, em que ambos estão se movendo, teremos que arranjar a ordem dos sinais conforme o movimento relativo do observador e da fonte, assim, a nova frequência para o caso geral será

\begin{cases}
f'=f_{0}\displaystyle\frac{v_{s} \pm v_{O}}{v_{s} \pm v_{F}}
\end{cases}

onde o sinal +, no numerador, indica que o observador se aproxima e o sinal – indica que se afasta, enquanto o sinal -, do denominador, indica que a fonte se aproxima e o sinal + indica que a fonte se afasta.

Um estudante desatento poderia pensar que os efeitos da fonte e do observador em movimento poderiam ser levados em conta usando a velocidade relativa de um em relação ao outro. Mas isso está incorreto. As ondas sonoras são ondas mecânicas, logo precisam de um meio material para se propagarem. Com isso, a atmosfera se torna um referencial privilegiado para a propagação do som, portanto devemos levar em consideração as velocidades da fonte e do observador em relação ao ar.

Ondas de Choque

Todos já ouvimos falar do Concorde, um avião que voava com velocidades maiores do que a do som, ou seja, um avião supersônico. Outra curiosidade é o caso do Lockheed SR-71 Blackbird, que é o avião a jato tripulado mais rápido do mundo, capaz de atingir velocidades superiores a Mach 3,3 (mais de 3.500 km/h). O avião não tripulado (veículo hipersônico) mais rápido do mundo é o NASA X-43A, que atingiu uma velocidade recorde de Mach 9,6 (cerca de 11.760 km/h) em 2003. Você também deve ter ouvido falar no estrondo supersônico, que ocorre quandoa barreira do som é quebrada.

Sabemos que, quando a fonte se aproxima do observador em repouso, o comprimento de onda percebida pelo observador será

\lambda'=\frac{v_{s}-v_{F}}{f_{0}}

Note que, quando a velocidade da fonte se iguala a velocidade do som, o comprimento de onda tende a zero e as cristas de onda são agrupadas a frente da fonte. Quando isso ocorre, o ar agrupado exerce uma força enorme sobre a fonte e ocorre um aumento da resistência do ar. Este é o fenômeno conhecido como barreira do som. Essa barreira era temida, nos anos 40, pelos pilotos de jatos que tentavam ultrapassá-la, pois o efeito era tão violento que alguns deles morreram, pois os aviões se quebravam.

Quando a fonte se deslocar com velocidade maior que a velocidade do som, as equações do efeito Doppler perderão o seu sentido físico, assim após um intervalo de tempo $t$, a onda emitida em um certo ponto se propagou em uma esfera de raio $r=v_{s}t$, enquanto que a fonte andou uma distância maior $D=v_{F}t$. Assim sendo, todas as ondas geradas pela fonte ficaram contidas em um cone, conhecido como Cone de Mach, observe a simulação no Geogebra.

O ângulo da onda de choque $\theta$, é calculado pela equação

\sin\theta=\frac{v_{s}}{v_{F}}

a razão $\displaystyle\frac{v_{F}}{v_{s}}$ chama-se Número de Mach.