Gravitação Universal

Todos nós somos encantados pela natureza e beleza do espaço, encontramos encantos nas estrelas, na lua e nas constelações, utilizamos em nossas obras de ficção científica e romances literários, mas nada se compara com o estudo sério da dinâmica do Universo em nossas instituições de ensino.

Breve Histórico Sobre os Modelos Astronômicos

O famoso filósofo grego Aristóteles em 384 a.C. e posteriormente pelo astrônomo Claudio Ptolomeu no ano 100 d.C., adotaram o Modelo Geocêntrico, neste modelo a Terra era o centro do universo e todos os astros giravam em torno dela em uma orbita circular.

No século XVI, o astrônomo e matemático polonês Nicolau Copérnico em 1537 propôs que o sol seria o centro do universo e os planetas descobertos até então giravam em torno dele, este sistema ficou conhecido como Modelo Heliocêntrico. astrônomo, matemático e físico Galileu Galilei em 1610, com a utilização do telescópio, e observando o movimento da Luas de Júpiter, melhorou o modelo heliocêntrico, ele transformou o heliocentrismo de uma hipótese elegante em uma teoria sustentada por evidências. Com o telescópio que aperfeiçoou, Galileu observou fenômenos que refutavam o geocentrismo e confirmavam o heliocentrismo:

Luas de Júpiter: Galileu descobriu quatro satélites orbitando Júpiter, mostrando que nem tudo gira em torno da Terra, enfraquecendo a visão geocêntrica.

Fases de Vênus: Vênus apresentava fases semelhantes às da Lua, algo incompatível com o modelo geocêntrico, mas perfeitamente explicado se Vênus orbita o Sol.

O heliocentrismo oferecia explicações mais simples e precisas para:

• retrogradação dos planetas,
• variações de brilho,
• posições aparentes no céu.

Galileu foi o primeiro grande cientista a:

• popularizar o modelo com argumentos acessíveis e baseados em evidências.
• defender abertamente o heliocentrismo,
• publicar obras explicando suas vantagens.

Tycho Brahe (1546–1601) foi um astrônomo dinamarquês cuja obra marcou a transição entre a astronomia antiga e a moderna. Ele combinou rigor científico, instrumentos gigantes e precisão inédita — tudo antes da invenção do telescópio.

Em 1572, Tycho observou uma “nova estrela” — hoje chamada Supernova de Tycho. Ele percebeu que ela não apresentava paralaxe, o que significava que estava muito além da Lua.

Isso derrubou a ideia aristotélica de que os céus eram imutáveis.

Tycho não aceitou o heliocentrismo de Copérnico, mas também rejeitou o geocentrismo clássico. Ele propôs um modelo intermediário:

• A Terra permanece imóvel no centro.
• O Sol gira em torno da Terra.
• Os planetas giram em torno do Sol.

Esse sistema explicava melhor as observações sem romper com a filosofia natural da época.

Com apoio do rei Frederico II, Tycho construiu Uraniborg e Stjerneborg, os observatórios mais sofisticados do século XVI. Ali, ele criou um centro de pesquisa com:

• instrumentos gigantes,
• oficinas de metalurgia e óptica,
• biblioteca,
• equipe de assistentes.

Esses observatórios transformaram a Dinamarca no centro mundial da astronomia.

Após sua morte, seus dados foram usados por Johannes Kepler, que trabalhou com ele. Sem a precisão das medições de Tycho, Kepler não teria conseguido formular as três leis do movimento planetário, que confirmaram o heliocentrismo e revolucionaram a física.

Johannes Kepler (1571–1630) foi um astrônomo, matemático e astrofísico alemão, figura central da Revolução Científica. Ele viveu em um período de intensas mudanças religiosas e científicas na Europa, marcado pela Reforma Protestante, pela Contrarreforma e pelo declínio do modelo geocêntrico.

Apesar de uma infância difícil — pobreza, saúde frágil e conflitos familiares — Kepler destacou-se pela habilidade matemática e pelo interesse precoce pelo céu. Na Universidade de Tübingen, teve contato com o heliocentrismo de Copérnico e o abraçou como modelo verdadeiro do cosmos.

Kepler foi o primeiro astrônomo a descrever o céu com matemática, transformando o heliocentrismo de Copérnico em um modelo quantitativo e verificável. Suas leis são usadas até hoje em astronomia, engenharia espacial e física orbital.

Suas três Leis são:

1. Órbitas elípticas

Os planetas não se movem em círculos perfeitos, mas em elipses, com o Sol em um dos focos. Essa descoberta derrubou quase dois mil anos de crença em órbitas circulares.

2. Lei das áreas

O planeta varre áreas iguais em tempos iguais. Isso significa que ele acelera ao se aproximar do Sol e desacelera ao se afastar.

3. Lei harmônica

O quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol. Essa relação matemática revelou a harmonia do sistema solar e permitiu prever movimentos planetários com precisão.

Isaac Newton (1642–1727) foi um matemático, físico, astrônomo, teólogo e filósofo natural inglês, amplamente reconhecido como uma das figuras mais influentes da história da ciência. Seu trabalho estabeleceu as bases da mecânica clássica, dominando a física por mais de dois séculos.

Ele estudou no Trinity College, Cambridge, onde mergulhou em temas como filosofia mecânica, óptica e matemática. Durante o isolamento causado pela peste de 1665, desenvolveu ideias fundamentais que moldariam toda a ciência moderna.

Suas principais contribuições para a ciência são:

1. Leis do Movimento

Newton formulou três leis que descrevem como corpos se movem e interagem. Elas explicam desde o movimento de objetos cotidianos até a dinâmica dos planetas.

2. Lei da Gravitação Universal

Ele propôs que todos os corpos do universo se atraem com uma força proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância. Com isso, explicou:

• órbitas planetárias,
• marés,
• trajetórias de cometas,
• precessão dos equinócios.

3. Consolidação do heliocentrismo

Newton mostrou matematicamente que as leis de Kepler derivam da gravidade, consolidando o modelo heliocêntrico como explicação científica do Sistema Solar.

4. Óptica

Newton demonstrou que a luz branca é composta por várias cores, separáveis por um prisma. Também desenvolveu o primeiro telescópio refletor prático (o telescópio newtoniano).

5. Matemática

Ele desenvolveu o cálculo diferencial e integral (em paralelo a Leibniz), além do binômio de Newton e métodos avançados de séries infinitas.

Podemos atribuir a Newton a

• Unificação das física terrestre e celeste sob as mesmas leis.
• Criação da mecânica clássica, base da engenharia e da física até o século XX.
• Revolução na matemática, fornecendo ferramentas essenciais para a ciência moderna.
• Transformação da astronomia, explicando o movimento dos planetas com precisão inédita.

Newton não apenas explicou o universo — ele mudou para sempre a forma como a ciência entende a natureza.

Lei da Gravitação Universal

Newton propôs que qualquer dois corpos com massa se atraem com uma força que depende de:

• suas massas (quanto mais massa, maior a força);
• a distância entre eles (quanto mais longe, menor a força, diminuindo rapidamente).

A fórmula é:

$$F=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$$

Onde:

• $F$ é a força gravitacional
• $m_1$ e $m_2$ são as massas dos corpos
• $r$ é a distância entre eles
• $G$ é a constante gravitacional

A constante gravitacional G é um valor numérico que quantifica quão forte é a força gravitacional. Seu valor é aproximadamente:

$G=6,674 \times 10^{-11}N \cdot m^2/kg^2$

Esse número é muito pequeno, o que explica por que a gravidade é a mais fraca das quatro forças fundamentais — você só percebe seus efeitos quando massas enormes estão envolvidas, como planetas e estrelas.

Para Newton, gravidade era uma força invisível que age instantaneamente entre massas. Einstein, em 1915, com a Relatividade Geral, propôs algo radicalmente diferente:

Gravidade não é uma força — é a curvatura do espaço-tempo causada pela massa e energia.

Ou seja:

• A Terra não “sente” uma força puxando-a para o Sol.
• Ela simplesmente segue o caminho mais “reto” possível em um espaço-tempo deformado pelo Sol.

É como uma bola rolando em uma cama elástica afundada.

A constante gravitacional G continua existindo, mas agora ela aparece em um contexto muito mais profundo: ela é o fator que liga matéria/energia à curvatura do espaço-tempo.

Na famosa equação de Einstein:

$$G_{\mu \nu }=8\pi G\frac{T_{\mu \nu }}{c^4}$$

• O lado esquerdo descreve a curvatura do espaço-tempo.
• O lado direito descreve a matéria e energia presentes.
• G é o “tradutor” entre esses dois mundos.

Sem G, matéria não curvaria o espaço-tempo.

Com a Teoria da Relatividade Geral Einstein explicou

1. A órbita de Mercúrio

Mercúrio tem uma precessão orbital que Newton não conseguia explicar. Einstein acertou o valor exato — um triunfo histórico.

2. A luz se curva

Newton não previa isso. Einstein mostrou que a luz segue a curvatura do espaço-tempo, confirmada em 1919 por Eddington.

3. Buracos negros

Regiões onde a curvatura é tão extrema que nada escapa. Newton jamais imaginaria algo assim.

4. Ondas gravitacionais

Ondulações no espaço-tempo, previstas por Einstein e detectadas em 2015.

5. Expansão do universo

A Relatividade Geral permitiu modelos cosmológicos dinâmicos — algo impossível no quadro newtoniano.

Henry Cavendish é uma daquelas figuras que parecem discretas à primeira vista, mas que mudaram profundamente a ciência. Ele foi um físico e químico inglês do século XVIII, conhecido por ser brilhante, meticuloso e extremamente reservado. Mesmo assim, suas contribuições moldaram a física moderna.

A obra-prima de Cavendish foi o experimento de 1798, usando uma balança de torção extremamente sensível. Com ela, ele conseguiu medir a força gravitacional entre pequenas esferas de chumbo.

Esse experimento permitiu:

• determinar a constante gravitacional G (embora ele não a chamasse assim)
• calcular a massa da Terra pela primeira vez
• estimar a densidade média do planeta

É por isso que muitos dizem que Cavendish “pesou a Terra”.

Esse feito é monumental porque a gravidade é incrivelmente fraca em laboratório. A sensibilidade necessária era absurda para a época — e ele conseguiu.

Cavendish também brilhou na química:

1. Descoberta do hidrogênio

Ele identificou o hidrogênio como uma substância distinta, chamando-o de “ar inflamável”. Mais tarde, Lavoisier mostraria que esse gás formava água ao reagir com oxigênio.

2. Composição da água

Cavendish demonstrou experimentalmente que a água não era um elemento, mas um composto — algo revolucionário.

3. Estudos sobre gases

Ele mediu com precisão propriedades de vários gases, antecipando ideias sobre composição atmosférica.

Princípio da Superposição das Forças

O princípio da superposição das forças é uma das ideias mais elegantes e poderosas da física. Ele diz, essencialmente, que quando várias forças atuam sobre um corpo, cada uma age de forma independente das outras, e o efeito total é simplesmente a soma vetorial de todas elas.

É um daqueles princípios que parecem simples, mas que sustentam praticamente toda a mecânica clássica.

Se várias forças ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2,{\vec{F}}_3,\dots$ atuam sobre um corpo, a força resultante é:

$${\vec{F}}_{\text{resultante}}={\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2+{\vec{F}}_3+\dots$$

Cada força contribui como se as outras não existissem.

O princípio da superposição funciona quando as forças são lineares. Mas em sistemas altamente não lineares — como certos materiais deformáveis, campos intensos ou interações quânticas — a superposição pode deixar de valer.

Considere o sistema de três massas dado pela figura abaixo:

A Figura mostra um sistema de três estrelas em um instante em que elas estão localizadas nos vértices de um triângulo retângulo de 45°. Determine a força gravitacional resultante sobre a estrela menor exercida pela ação das duas estrelas maiores e o ângulo $\theta$.

Para facilitar nossos cálculos, vamos considerar $m_2=m_3=8m_1$ e $r_{12}=r_{23}=a$, com $m_1=1 \times 10^{30} kg$ e $a = 4 \times 10^{12}m$.

No triângulo retângulo, temos que a hipotenusa é igual a $r_{13}^2=2a^2$.

Calculando a força de atração entre as massa $m_1$ e $m_2$, temos

\vec{F}_{12}=\frac{Gm_1m_2}{r^{2}_{12}}\hat{i}\\ 
\vec{F}_{12}=\frac{8Gm^2_1}{a^2}\hat{i}\\

Agora, vamos calcular a força de atração entre as massa $m_1$ e $m_3$,

\vec{F}_{13}=\frac{Gm_1m_3}{r^{2}_{13}}(\cos 45° \hat{i}+\sin45° \hat{j}) \\ 

\vec{F}_{13}=\frac{8Gm_1^2}{2a^2}(\frac{\sqrt{2}}{2} \hat{i}+\frac{\sqrt{2}}{2} \hat{j})\\

\vec{F}_{13}=\frac{8Gm_1^2}{2a^2}\frac{\sqrt{2}}{2} (\hat{i}+ \hat{j})\\

\vec{F}_{13}=\frac{2\sqrt{2}Gm_1^2}{a^2} (\hat{i}+ \hat{j})\\

Sabemos que

\vec{F}_{R}=\vec{F}_{12}+\vec{F}_{13}

logo,

\vec{F}_{R}=\frac{8Gm^2_1}{a^2}\hat{i}+\frac{2\sqrt{2}Gm_1^2}{a^2} (\hat{i}+ \hat{j})\\
\vec{F}_{R}=(8+2\sqrt{2})\frac{Gm^2_1}{a^2}\hat{i}+2\sqrt{2}\frac{Gm^2_1}{a^2}\hat{j}\\
\vec{F}_{R}=\frac{Gm^2_1}{a^2}[(8+2\sqrt{2})\hat{i}+2\sqrt{2}\hat{j}]

Substituindo os valores da massa $m_1$ e $a$, encontramos

\vec{F}_R=(1,8 \times 10^{26}N)\hat{i}+(4,7 \times 10^{25}N)\hat{j}

o módulo da força resultante sobre $m_1$ é

|\vec{F}_R|=1,86 \times 10^{26}N

Para determinarmos o ângulo $\theta$, basta calculamos

\tan\theta=\frac{F_{Ry}}{F_{Rx}}=\frac{2\sqrt{2}}{8+2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}}

portanto,

\theta=\arctan\frac{\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}}=14,6°

A força resultante $|\vec{F}_R|$ sobre a estrela pequena é muito grande, no entanto, o módulo da aceleração dela é: $a=|\vec{F}_R|/m_1=(1,86 \times 10^{26}N)/(1\times 10^{30}kg)=1,86 \times 10^{-4}m/s^2$. Podemos destacar que a força não está dirigida para o centro de massa das duas estrelas maiores.

Energia Potencial Gravitacional

Podemos obter a equação da energia potencial gravitacional enquanto a massa $m$, na figura, se move da posição A até a posição B, utilizamos o conceito de trabalho mecânico $W$, no SI, dado em Joule (J), tomamos a definição abaixo

W=\int^{r_B}_{r_A} \vec{F}(r) \cdot d\vec{r}

A integral contém o produto escalar entre a força gravitacional $\vec{F}(r)$ e o deslocamento diferencial $d\vec{r}$, essa integral é calculada ao longo da trajetória, e como sabemos o produto escalar é diferente de zero apenas quando as componentes dos vetores são paralelos, portanto,

\vec{F}(r) \cdot d\vec{r} = F_r dr cos \phi =-\frac{GMm}{r^2}dr

com $\phi$ = 180°, já que a força gravitacional radial aponta para a centro do planeta e a componente radial do deslocamento diferencial aponta para fora, e também $F_r=\frac{GMm}{r^2}$. Resolvendo a integral, tem-se

W = - \int^{r_B}_{r_A} F(r)dr=- GMm\int^{r_B}_{r_A} \frac{dr}{r^2} \\
W = GMm \left[ \frac{1}{r}\right]^{r_B}_{r_A}=GMm \left[ \frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A}\right]

O trabalho depende apenas dos valores final e inicial de r, e não da trajetória descrita. Isso também prova que a força gravitacional é conservativa, ou seja, o trabalho independe da trajetória.

Definindo a Energia Potencial pelas equações a seguir, temos

W=-\Delta U

e

\vec{F}=-\nabla U

onde $\Delta U$ é a variação da energia potencial e $\nabla U$ é o gradiente da energia potencial. O operador gradiente é dado por $\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \hat{i}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{j}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{k}$.

Assim, podemos escrever

\Delta U = U_{r_B}-U_{r_A}=-W\\
\Delta U =U_{r_B}-U_{r_A}=-GMm   \left[ \frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A} \right]

Ss calcularmos o trabalho $W$ necessário para deslocar a bola do ponto A (a uma distância $r$) até o infinito, encontramos

U_{\infty} - U_{r}=-GMm   \left[ \frac{1}{\infty}-\frac{1}{r} \right]\\
U_{r}=-\frac{GMm}{r}

Quando o corpo se afasta da Terra, a distância r aumenta, a força gravitacional realiza um trabalho negativo e $U_{r}$ aumenta, isto é, torna-se menos negativa. Quando o corpo “cai” em direção à Terra, a distância $r$ diminui, a força gravitacional realiza um trabalho positivo e a energia potencial gravitacional diminui, isto é, torna-se mais negativa.

Quando o corpo de massa $m$ está próximo da superfície terrestre, a energia potencial gravitacionalé dada por

\Delta U = -GMm \left[ \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A}\right]=-GMm\left[ \frac{r_A- r_B}{r_A r_B} \right]\\

o produto $r_A r_B \approx R_{T}^{2}$ é o raio médio da Terra ao quadrado e $r_B – r_A = \Delta y$ é a variação da altura do corpo medida a partir do solo, assim

\Delta U = \frac{GM}{R_{T}^{2}}m\Delta y\\
\Delta U = mg\Delta y

onde $g=GM/R_{T}^{2}=9,8 m/s^2$.

Qual seria a energia potencial armazenada no problema dos três sóis, considerando que devemos fixar a massa $m_1$ e trazer as outras duas estrelas $m_2$ e $m_3$ do infinito até as posições mostradas na figura, lembrando que este triângulo retângulo é de 45°

Como $U_r = 0$ para $r \to \infty$, a energia potencial é negativa para qualquer distância finita e se torna progressivamente mais negativa à medida que as partículas se aproximam.

Com $m_2=m_3=8m_1$ e $r_{12}=r_{23}=a$.

A energia potencial total é dada por

U_T=U_{12}+U_{13}+U_{23}\\
U_T=- \left( \frac{Gm_1m_2}{r_{12}}+\frac{Gm_1m_3}{r_{13}}+\frac{Gm_2m_3}{r_{23}}\right)\\
U_T=- \left( \frac{8Gm_1^2}{a}+\frac{8Gm_1^2}{\sqrt{2}a}+\frac{64Gm_1^2}{a}\right)\\
U_T=- \frac{8Gm_1^2}{a} \left( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+8\right)\\
U_T=- \frac{8Gm_1^2}{a} \left( 9+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\

substituindo os valores de $m_1$ e $a$

U_T = -\frac{8\times 6,67\times 10^{-11}\times (1\times 10^{30})^2}{4\times 10^{12}}\left( 9+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\
U_T=-1,334\times 10^{38}J

Exercícios

Sejam duas bases de lançamento de foguete. A primeira localizada em uma cidade no equador terrestre e a segunda na latitude de 60°. Mostre que a alternativa que corresponde à melhor estimativa da razão entre os impulsos necessários para que um foguete seja lançado ao espaço partindo da primeira base e da segunda base é $\frac{I_1}{I_2}=0,98$.