{"id":1228,"date":"2026-02-13T08:08:49","date_gmt":"2026-02-13T12:08:49","guid":{"rendered":"https:\/\/fiziko.net\/?page_id=1228"},"modified":"2026-02-22T12:44:27","modified_gmt":"2026-02-22T16:44:27","slug":"ondas-longitudinais","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/fiziko.net\/?page_id=1228","title":{"rendered":"Ondas Longitudinais"},"content":{"rendered":"\n<p>As <strong>ondas longitudinais<\/strong> s\u00e3o caracterizadas por produzirem oscila\u00e7\u00f5es ao longo da dire\u00e7\u00e3o de propaga\u00e7\u00e3o do pulso energ\u00e9tico, ou seja, se o pulso move-se pelo eixo x positivo, as camadas de mat\u00e9ria se deslocam ao longo do eixo x tamb\u00e9m, e um bom exemplo dessa onda \u00e9 o <strong>som<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Podemos resumir uma onda sonora se propagando ao longo do ar dizendo que &#8220;<strong>o deslocamento do fluido muda sua densidade, a mudan\u00e7a de densidade gera uma mudan\u00e7a de press\u00e3o e uma varia\u00e7\u00e3o de press\u00e3o gera um deslocamento<\/strong>&#8220;.<\/p>\n\n\n\n<p>Em geral, para uma dada massa de fluido M ocupando um certo volume V , um aumento de press\u00e3o (\u2206P &gt; 0) faz com que esta mesma massa M passe a ocupar um volume menor, ou seja, \u2206V &lt; 0. Com isso, podemos definir uma grandeza chamada <strong>m\u00f3dulo de compressibilidade do fluido<\/strong> <math data-latex=\"K\"><semantics><mi>K<\/mi><annotation encoding=\"application\/x-tex\">K<\/annotation><\/semantics><\/math><\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>K=-\\frac{\\Delta V\/V}{\\Delta P}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>onde <math data-latex=\"-\u2206V\/V\"><semantics><mrow><mo>\u2212<\/mo><mtext>\u2206<\/mtext><mi>V<\/mi><mi>\/<\/mi><mi>V<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">-\u2206V\/V<\/annotation><\/semantics><\/math> \u00e9 a <strong>magnitude da varia\u00e7\u00e3o  percentual  do  volume<\/strong>  e  o  sinal  negativo  aparece  porque \u2206V &lt; 0. Para uma dada varia\u00e7\u00e3o de press\u00e3o, quanto maior a varia\u00e7\u00e3o do volume, maior \u00e9 <math data-latex=\"K\"><semantics><mi>K<\/mi><annotation encoding=\"application\/x-tex\">K<\/annotation><\/semantics><\/math>, ou seja, mais compress\u00edvel \u00e9 o fluido. Tamb\u00e9m \u00e9 poss\u00edvel definir <math data-latex=\"B\"><semantics><mi>B<\/mi><annotation encoding=\"application\/x-tex\">B<\/annotation><\/semantics><\/math>, o <strong>m\u00f3dulo de elasticidade do fluido<\/strong><\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>B=\\frac{1}{K}=-\\frac{\\Delta P}{\\Delta V\/V}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>Note que o m\u00f3dulo de elesticidade do fluido tem unidade no SI de press\u00e3o (Pa).<\/p>\n\n\n\n<p>Vamos estudar uma onda de deslocamento que se propaga para a direita<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>u(x,t)=u_{m}\\cos(kx-\\omega t+\\phi)<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>a onda acima \u00e9 do tipo harm\u00f4nica simples com <math data-latex=\"u_{m}\"><semantics><msub><mi>u<\/mi><mi>m<\/mi><\/msub><annotation encoding=\"application\/x-tex\">u_{m}<\/annotation><\/semantics><\/math> sendo a amplitude longitudinal de deslocamento.<\/p>\n\n\n\n<iframe src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/calculator\/uv5wwqqr\" width=\"100%\" height=\"500\" frameborder=\"0\" marginwidth=\"0\" marginheight=\"0\" allowfullscreen><\/iframe>\n\n\n\n<p>Seja <math data-latex=\"P(x, t)\"><semantics><mrow><mi>P<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">P(x, t)<\/annotation><\/semantics><\/math> a flutua\u00e7\u00e3o instant\u00e2nea da press\u00e3o em uma onda sonora para cadaponto x e instante t. Ou seja, <math data-latex=\"P(x, t)\"><semantics><mrow><mi>P<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">P(x, t)<\/annotation><\/semantics><\/math> fornece a diferen\u00e7a entre a press\u00e3o da onda e a press\u00e3o atmosf\u00e9rica normal <math data-latex=\"Pa\"><semantics><mrow><mi>P<\/mi><mi>a<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">Pa<\/annotation><\/semantics><\/math>. Imagine que <math data-latex=\"P(x, t)\"><semantics><mrow><mi>P<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">P(x, t)<\/annotation><\/semantics><\/math> seja a press\u00e3o manom\u00e9trica, ela pode ser positiva ou negativa. A press\u00e3o absoluta em cada ponto, portanto, \u00e9 igual a <math data-latex=\"Pa + P(x, t)\"><semantics><mrow><mi>P<\/mi><mi>a<\/mi><mo>+<\/mo><mi>P<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">Pa + P(x, t)<\/annotation><\/semantics><\/math>.<\/p>\n\n\n\n<p>Para ver a liga\u00e7\u00e3o entre a flutua\u00e7\u00e3o de press\u00e3o <math data-latex=\"P(x, t)\"><semantics><mrow><mi>P<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">P(x, t)<\/annotation><\/semantics><\/math> e o deslocamento <math data-latex=\"u(x, t)\"><semantics><mrow><mi>u<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">u(x, t)<\/annotation><\/semantics><\/math> de uma onda sonora se propagando ao longo do eixo x no sentido positivo, considere um cilindro imagin\u00e1rio de um meio ondulat\u00f3rio (gasoso, l\u00edquido ou s\u00f3lido) com se\u00e7\u00e3o reta de \u00e1rea <math data-latex=\"A\"><semantics><mi>A<\/mi><annotation encoding=\"application\/x-tex\">A<\/annotation><\/semantics><\/math> e eixo ao longo da dire\u00e7\u00e3o de propaga\u00e7\u00e3o, como na figura abaixo<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" width=\"474\" height=\"340\" src=\"https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-004.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1234\" srcset=\"https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-004.jpg 474w, https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-004-300x215.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 474px) 100vw, 474px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p>Quando n\u00e3o existe nenhuma onda sonora, o comprimento do cilindro \u00e9 <math data-latex=\"\\Delta x\"><semantics><mrow><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><\/mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\Delta x<\/annotation><\/semantics><\/math> e o volume \u00e9 <math data-latex=\"V=A\\Delta x\"><semantics><mrow><mi>V<\/mi><mo>=<\/mo><mi>A<\/mi><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><\/mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">V=A\\Delta x<\/annotation><\/semantics><\/math>, como indicado pelo volume sombreado na Figura. Quando uma onda est\u00e1 presente, no instante t a extremidade que estava inicialmente no ponto <math data-latex=\"x\"><semantics><mi>x<\/mi><annotation encoding=\"application\/x-tex\">x<\/annotation><\/semantics><\/math> \u00e9 deslocada para <math data-latex=\"u(x,t)\"><semantics><mrow><mi>u<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">u(x,t)<\/annotation><\/semantics><\/math>, e a extremidade que estava inicialmente no ponto <math data-latex=\"x+\\Delta x\"><semantics><mrow><mi>x<\/mi><mo>+<\/mo><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><\/mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">x+\\Delta x<\/annotation><\/semantics><\/math> \u00e9 deslocada para <math data-latex=\"u(x+\\Delta x,t)\"><semantics><mrow><mi>u<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>+<\/mo><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><\/mrow><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">u(x+\\Delta x,t)<\/annotation><\/semantics><\/math>; isso pode ser mostrado pelas setas vermelhas. Quando <math data-latex=\"u(x+\\Delta x,t)&gt;u(x,t)\"><semantics><mrow><mi>u<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>+<\/mo><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><\/mrow><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><mo>&gt;<\/mo><mi>u<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">u(x+\\Delta x,t)&gt;u(x,t)<\/annotation><\/semantics><\/math>, o volume do cilindro aumenta, produzindo-se uma diminui\u00e7\u00e3o de press\u00e3o. Quando <math data-latex=\"u(x+\\Delta x,t)&lt;u(x,t)\"><semantics><mrow><mi>u<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>+<\/mo><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><\/mrow><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><mo>&lt;<\/mo><mi>u<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">u(x+\\Delta x,t)&lt;u(x,t)<\/annotation><\/semantics><\/math>, o volume diminui e a press\u00e3o aumenta. Quando <math data-latex=\"u(x+\\Delta x,t)=u(x,t)\"><semantics><mrow><mi>u<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo>+<\/mo><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><\/mrow><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><mo>=<\/mo><mi>u<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">u(x+\\Delta x,t)=u(x,t)<\/annotation><\/semantics><\/math>, o cilindro \u00e9 simplesmente deslocado para a esquerda ou para a direita, n\u00e3o existe varia\u00e7\u00e3o de volume nem flutua\u00e7\u00e3o de press\u00e3o. A flutua\u00e7\u00e3o de press\u00e3o depende da diferen\u00e7a entre os deslocamentos de pontos vizinhos do meio.<\/p>\n\n\n\n<p>A varia\u00e7\u00e3o de volume <math data-latex=\"\\Delta V\"><semantics><mrow><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><\/mrow><mi>V<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\Delta V<\/annotation><\/semantics><\/math> do cilindro \u00e9<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>\\Delta V=A[u(x+\\Delta x,t)-u(x,t)]<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>No limite <math data-latex=\"\\Delta x \\to 0\"><semantics><mrow><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><\/mrow><mi>x<\/mi><mo>\u2192<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\Delta x \\to 0<\/annotation><\/semantics><\/math>, a varia\u00e7\u00e3o relativa de volume de <math data-latex=\"dV\/V\"><semantics><mrow><mi>d<\/mi><mi>V<\/mi><mi>\/<\/mi><mi>V<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">dV\/V<\/annotation><\/semantics><\/math> (varia\u00e7\u00e3o do volumedividida pelo volume original) \u00e9<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>\\frac{dV}{V}=\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{A[u(x+\\Delta x,t)-u(x,t)]}{A\\Delta x}=\\frac{\\partial u(x,t)}{\\partial x}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>Tomemos o <strong>m\u00f3dulo de elasticidade do fluido<\/strong> <math data-latex=\"B = - \\frac{P(x,t)}{dV\/V}\"><semantics><mrow><mi>B<\/mi><mo>=<\/mo><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>P<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>d<\/mi><mi>V<\/mi><mi>\/<\/mi><mi>V<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">B = &#8211; \\frac{P(x,t)}{dV\/V}<\/annotation><\/semantics><\/math>, podemos reescrever a equa\u00e7\u00e3o acima como<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>P(x,t)=-B\\frac{\\partial u(x,t)}{\\partial x}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>logo,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>P(x,t)=Bku_{m}\\sin(kx-\\omega t+\\phi)<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>A equa\u00e7\u00e3o acime \u00e9 conhecida como <strong>onda de press\u00e3o<\/strong> e definiremos a <strong>amplitude de press\u00e3o<\/strong> como<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>P_{max}=Bku_{m}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Velocidade da Onda Sonora<\/h2>\n\n\n\n<p>Usaremos a Segunda Lei de Newto, e tamb\u00e9m a rela\u00e7\u00e3oo entre for\u00e7aa e press\u00e3o. Voltando ao nosso cilindro, podemos analisar o que acontece em uma pequena regi\u00e3o que tem \u00e1rea transversal <math data-latex=\"A\"><semantics><mi>A<\/mi><annotation encoding=\"application\/x-tex\">A<\/annotation><\/semantics><\/math>, paralela ao fundo do cilindro, e que se estende perpendicularmente ao fundo desta, como mostrado na Figura. Vamos escolher o eixo x como sendo positivo para a direita.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"474\" height=\"340\" src=\"https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-005.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1235\" srcset=\"https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-005.jpg 474w, https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-005-300x215.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 474px) 100vw, 474px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p>Como podemos verificar facilmente, a for\u00e7a resultante  \u00e9 restauradora e determinada conforme a equa\u00e7\u00e3o a seguir<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>F_{R}=-[\\Delta F_{2}-\\Delta F_{1}]=-A[P(x+\\Delta x,t)-P(x,t)]<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>escrevemos, ent\u00e3o tomando o limite<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>M\\frac{\\partial ^2 u(x,t)}{\\partial t^2}=-A\\Delta x \\lim_{\\Delta x \\to0}\\frac{P(x+\\Delta x,t)-P(x,t)}{\\Delta x}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>tem-se, que<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>\\rho \\Delta V\\frac{\\partial ^2 u(x,t)}{\\partial t^2}=-\\Delta V \\frac{\\partial P(x,t)}{\\partial x}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>como <math data-latex=\"P(x,t)=-B\\frac{\\partial u(x,t)}{\\partial x}\"><semantics><mrow><mi>P<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><mo>=<\/mo><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">\u2212<\/mo><mi>B<\/mi><mfrac><mrow><mi>\u2202<\/mi><mi>u<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\" lspace=\"0em\" rspace=\"0em\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u2202<\/mi><mi>x<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">P(x,t)=-B\\frac{\\partial u(x,t)}{\\partial x}<\/annotation><\/semantics><\/math>, concluimos que<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>\\rho \\frac{\\partial ^2 u(x,t)}{\\partial t^2}=B \\frac{\\partial^2 u(x,t)}{\\partial x^2}\\\\.\n\\\\\n\\frac{\\partial ^2 u(x,t)}{\\partial t^2}=\\frac{B}{\\rho} \\frac{\\partial^2 u(x,t)}{\\partial x^2}\\\\.\n\\\\\n\\frac{\\partial ^2 u(x,t)}{\\partial t^2}=v^2 \\frac{\\partial^2 u(x,t)}{\\partial x^2}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>A equa\u00e7\u00e3o acima \u00e9 a <strong>equa\u00e7\u00e3o da onda<\/strong> <strong>longitudinal<\/strong>, da qual tem-se que a <strong>velocidade do som<\/strong> \u00e9<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>v=\\sqrt{\\frac{B}{\\rho}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>Caso o som se propague em um s\u00f3lido, tem-se<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>v=\\sqrt{\\frac{Y}{\\rho}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>onde <math data-latex=\"Y\"><semantics><mi>Y<\/mi><annotation encoding=\"application\/x-tex\">Y<\/annotation><\/semantics><\/math> \u00e9 o <strong>M\u00f3dulo de Young do Material<\/strong>, grandeza tabelada.<\/p>\n\n\n\n<p>Para um g\u00e1s ideal, a velocidade do som \u00e9 calculada levando-se em conta a equa\u00e7\u00e3o de estado do g\u00e1s ideal<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>PV^\\gamma=const<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>Calculando <math data-latex=\"\\frac{dP}{dV}\"><semantics><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><mi>P<\/mi><\/mrow><mrow><mi>d<\/mi><mi>V<\/mi><\/mrow><\/mfrac><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\frac{dP}{dV}<\/annotation><\/semantics><\/math>,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>\\frac{dP}{dV}=-\\gamma\\frac{const}{V^{\\gamma+1}}\\\\.\n\\\\\n\\frac{dP}{dV}=-\\gamma\\frac{PV^\\gamma}{V^{\\gamma+1}}\\\\.\n\\\\\n\\frac{dP}{dV\/V}=-\\gamma P\\\\.\n\\\\\nB=\\gamma P\n<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>logo,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>v=\\sqrt{\\frac{\\gamma P}{\\rho}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>onde <math data-latex=\"\\gamma=\\frac{C_{P}}{C_{V}}\"><semantics><mrow><mi>\u03b3<\/mi><mo>=<\/mo><mfrac><msub><mi>C<\/mi><mi>P<\/mi><\/msub><msub><mi>C<\/mi><mi>V<\/mi><\/msub><\/mfrac><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\gamma=\\frac{C_{P}}{C_{V}}<\/annotation><\/semantics><\/math>. Consideramos o caso do ar, o som se propagar\u00e1 com velocidade de<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>\\gamma=7\/5\\\\\n\\rho=1,225 kg\/m^3\\\\\nP=101kPa\\\\\nv=\\sqrt{\\frac{7\/5*101000}{1,225}}\\approx340 m\/s<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>Fazendo-se a an\u00e1lise dimensional, sabendo que <math data-latex=\"\\gamma\"><semantics><mi>\u03b3<\/mi><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\gamma<\/annotation><\/semantics><\/math> \u00e9 adimensional, temos<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>\\left[ \\frac{Pa}{kg.m^{-3}}  \\right]^{1\/2}=\\left[ \\frac{N.m^{-2}}{kg.m^{-3}}  \\right]^{1\/2}=\\\\\n=\\left[ \\frac{kg.m.s^{-2}.m^{-2}}{kg.m^{-3}}  \\right]^{1\/2}=\\left[ \\frac{m^{2}}{s^{2}}  \\right]^{1\/2}=\\frac{m}{s}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>Tabela com algumas velocidades do som nos materiais<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"475\" height=\"700\" src=\"https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-006.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1240\" srcset=\"https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-006.jpg 475w, https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-006-204x300.jpg 204w\" sizes=\"(max-width: 475px) 100vw, 475px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Intensidade da Onda Sonora<\/h2>\n\n\n\n<p>As ondas sonoras, como todas as ondas progressivas, transferem energia deuma regi\u00e3o do espa\u00e7o para outra. A <strong>intensidade de uma onda<\/strong> \u00e9 igual \u00e0 <strong>pot\u00eancia m\u00e9dia por unidade de \u00e1rea<\/strong> transmitida por esta onda.<\/p>\n\n\n\n<p>Vamos supor que tenhamos uma onda sonora propagando-se em umtubo de se\u00e7\u00e3o reta A. Podemos escrever o m\u00f3dulo da for\u00e7a exercida sobre uma camada de fluido como<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>F=P(x,t)A=Bku_{m}A\\sin(kx-\\omega t+\\phi)<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>A pot\u00eancia instant\u00e2nea pode ser escrita como o produto da for\u00e7a pela velocidade longitudinal da onda<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>P_{ot}(x,t)=F\\frac{\\partial u(x,t)}{\\partial t}=Bk\\omega u^2_{m}A\\sin^2(kx-\\omega t+\\phi)<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>A pot\u00eancia m\u00e9dia \u00e9 determinada pela equa\u00e7\u00e3o<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>\\bar{P}_{ot}=\\frac{1}{2}Bk\\omega u^2_{m}A<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>lembrando que a m\u00e9dia temporal de seno ao quadrado \u00e9 1\/2, asim podemos obter a intensidade da onda sonora<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>I=\\frac{\\bar{P}_{ot}}{A}=\\frac{1}{2}Bk\\omega u^2_{m}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>removendo na forma da frequ\u00eancia, a equa\u00e7\u00e3o acima ficar\u00e1,  com <math data-latex=\"\\omega=vk\"><semantics><mrow><mi>\u03c9<\/mi><mo>=<\/mo><mi>v<\/mi><mi>k<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\omega=vk<\/annotation><\/semantics><\/math> e <math data-latex=\"B=v^2\\rho\"><semantics><mrow><mi>B<\/mi><mo>=<\/mo><msup><mi>v<\/mi><mn>2<\/mn><\/msup><mi>\u03c1<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">B=v^2\\rho<\/annotation><\/semantics><\/math><\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>I=\\frac{\\bar{P}_{ot}}{A}=\\frac{1}{2}v^2\\rho\\frac{\\omega^2}{v} u^2_{m}\\\\.\n\\\\\nI=\\frac{\\bar{P}_{ot}}{A}=\\frac{1}{2}\\rho v\\omega^2 u^2_{m}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">N\u00edvel de Intensidade Sonora<\/h2>\n\n\n\n<p>Em vez de nos referirmos \u00e0 intensidade sonora, utilizamoso <strong>n\u00edvel de intensidade sonora<\/strong>, designado pela letra grega \u03b2,  que \u00e9 medido em escala logar\u00edtmica. Isto \u00e9 feito porque o ouvido humano \u00e9 sens\u00edvel num intervalo grande de intensidades.<\/p>\n\n\n\n<p>A unidade usada para medir o n\u00edvel de intensidade sonora \u00e9 o decibel, que abreviamos por dB. O decibel corresponde a <math data-latex=\"\\frac{1}{10}\"><semantics><mfrac><mn>1<\/mn><mn>10<\/mn><\/mfrac><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\frac{1}{10}<\/annotation><\/semantics><\/math> do bel, uma unidade de medida criada em homenangem a Alexander Graham Bell. Alexander Graham Bell nasceu em Edimburgo, na Esc\u00f3cia, em 1847, e morreu em 1922. Inventou o telefone em 1876.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>\\beta=(10dB)\\log_{10}\\frac{I}{I_{0}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>onde <math data-latex=\"I_{0}=10^{-12}W\/m^2\"><semantics><mrow><msub><mi>I<\/mi><mn>0<\/mn><\/msub><mo>=<\/mo><msup><mn>10<\/mn><mrow><mo lspace=\"0em\" rspace=\"0em\">\u2212<\/mo><mn>12<\/mn><\/mrow><\/msup><mi>W<\/mi><mi>\/<\/mi><msup><mi>m<\/mi><mn>2<\/mn><\/msup><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">I_{0}=10^{-12}W\/m^2<\/annotation><\/semantics><\/math> \u00e9 a intensidade padr\u00e3o para a qual <math data-latex=\"\\beta=0\"><semantics><mrow><mi>\u03b2<\/mi><mo>=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\beta=0<\/annotation><\/semantics><\/math>, que corresponde ao limiar da audi\u00e7\u00e3o humana. Para uma intensidade <math data-latex=\"I=1W\/m^2\"><semantics><mrow><mi>I<\/mi><mo>=<\/mo><mn>1<\/mn><mi>W<\/mi><mi>\/<\/mi><msup><mi>m<\/mi><mn>2<\/mn><\/msup><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">I=1W\/m^2<\/annotation><\/semantics><\/math>, o n\u00edvel de intensidade sonora \u00e9 120 dB, que corresponde ao limiar da dor para o ouvido humano.<\/p>\n\n\n\n<p>O que \u00e9 a <strong>altura<\/strong> de um som musical? E a caracter\u00edstica que nos permite distinguir entre sons graves e agudos. A voz do Tim Maia \u00e9 mais grave que a voz da Gal Costa. Mas, qual \u00e9 a F\u00edsica por tr\u00e1s disso? A <strong>altura<\/strong> de um som est\u00e1 relacionada com a sua frequ\u00eancia: quanto maior a frequ\u00eancia <math data-latex=\"f\"><semantics><mi>f<\/mi><annotation encoding=\"application\/x-tex\">f<\/annotation><\/semantics><\/math> de uma onda sonora, mais agudo ser\u00e1 o som. Por outro lado, sons com frequ\u00eancia baixa s\u00e3o graves.<\/p>\n\n\n\n<p>Se voc\u00ea escutar uma nota L\u00e1, que corresponde a uma frequ\u00eancia de 440 Hz, produzida por um piano, uma flauta, uma guitarra el\u00e9trica e um apito de trem, voc\u00ea vai conseguir dizer qual nota L\u00e1 foi produzida por cada um dos \u201cinstrumentos\u201d. Ningu\u00e9m confunde um L\u00e1 de uma flauta com o de uma guitarra, ou o de um piano com o de um violino! Mesmo que as notas tenham exatamente a mesma intensidadee a mesma altura, ainda \u00e9 poss\u00edvel distingui-las.  O que voc\u00ea talvez n\u00e3o soubesse \u00e9 que a qualidade que nos permite essa distin\u00e7\u00e3o \u00e9 chamada <strong>timbre<\/strong>. O ouvido humano entende, como uma nota L\u00e1, qualquer nota que tenha \u03bd = 440 Hz, independente do perfil da onda. O timbre do som \u00e9 definido pelas diferentes contribui\u00e7\u00f5es de cada um dos tons harm\u00f4nicos, podemos utilizar a <strong>s\u00e9rie de Fourrier<\/strong> para dercrever estas ondas complexas.<\/p>\n\n\n\n<p>Podemos estudar a forma\u00e7\u00e3o de ondas estacion\u00e1rias em instrumentos de tubos abertos em ambas extremidades, o que nos dar\u00e1<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"559\" height=\"893\" src=\"https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-007.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1243\" srcset=\"https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-007.jpg 559w, https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-007-188x300.jpg 188w\" sizes=\"(max-width: 559px) 100vw, 559px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p>A forma\u00e7\u00e3o de ondas estacion\u00e1rias em instrumentos de tubos aberto em uma extremidade e fechado na outra, nos dar\u00e1<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"548\" height=\"883\" src=\"https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-008.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1244\" srcset=\"https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-008.jpg 548w, https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-008-186x300.jpg 186w\" sizes=\"(max-width: 548px) 100vw, 548px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Superposi\u00e7\u00e3o de Ondas de Frequ\u00eancias Diferentes: Batimentos<\/h2>\n\n\n\n<p>Estudaremos duas ondas sonoras se propagando-se no ar, no mesmo sentido, mas com frequ\u00eancias ligeiramente diferentes, dadas por<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>u_{1}(x,t)=u_{m}\\cos(k_{1}x-\\omega_{1} t)\\\\\nu_{2}(x,t)=u_{m}\\cos(k_{2}x-\\omega_{2} t)<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>assumindo que,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>\\Delta \\omega=\\omega_{2}-\\omega_{1} &lt;&lt; \\bar{\\omega}=\\frac{\\omega_{2}+\\omega_{1}}{2}\\\\. \\\\\n\\Delta k=k_{2}-k_{1}&lt;&lt;\\bar{k}=\\frac{k_{2}+k_{1}}{2}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>temos,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>u(x,t)=u_{1}(x,t)+u_{2}(x,t) \\\\\n.\\\\\nu(x,t)=u_{m}\\cos(k_{1}x-\\omega_{1} t)+u_{m}\\cos(k_{2}x-\\omega_{2} t)\\\\\n.\\\\\nu(x,t)=2u_{m}\\cos \\left[(k_{2}-k_{1})\\frac{x}{2}-(\\omega_{2}-\\omega_{1})\\frac{t}{2} \\right]\\cos\\left( \\bar{k}x-\\bar{\\omega}t\\right)\\\\\n.\\\\\nu(x,t)=2u_{m}\\cos \\left[\\Delta k\\frac{x}{2}-\\Delta \\omega\\frac{t}{2} \\right]\\cos\\left( \\bar{k}x-\\bar{\\omega}t\\right)<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>Nota-se que a onda representada pela fun\u00e7\u00e3o <math data-latex=\"u(x,t)\"><semantics><mrow><mi>u<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">u(x,t)<\/annotation><\/semantics><\/math> oscila no tempo com uma frequ\u00eancia <math data-latex=\"\\bar{\\omega}\"><semantics><mover><mi>\u03c9<\/mi><mo stretchy=\"false\" class=\"tml-xshift\" style=\"math-style:normal;math-depth:0;\">\u203e<\/mo><\/mover><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\bar{\\omega}<\/annotation><\/semantics><\/math> e que sua amplitude oscila tamb\u00e9m no tempo, mas com uma frequ\u00eancia <math data-latex=\"\\Delta\\omega\/2\"><semantics><mrow><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><\/mrow><mi>\u03c9<\/mi><mi>\/<\/mi><mn>2<\/mn><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\Delta\\omega\/2<\/annotation><\/semantics><\/math> muito mais baixa. Existem duas propaga\u00e7\u00f5es simult\u00e2neas: a da onda resultante <math data-latex=\"u(x,t)\"><semantics><mrow><mi>u<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">u(x,t)<\/annotation><\/semantics><\/math>, com velocidade de fase<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>v=\\frac{\\bar{\\omega}}{\\bar{k}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>e a da sua envolt\u00f3ria <math data-latex=\"U(x,t)=2u_{m}\\cos \\left[\\Delta k\\frac{x}{2}-\\Delta \\omega\\frac{t}{2} \\right]\"><semantics><mrow><mi>U<\/mi><mo form=\"prefix\" stretchy=\"false\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo separator=\"true\">,<\/mo><mi>t<\/mi><mo form=\"postfix\" stretchy=\"false\">)<\/mo><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><msub><mi>u<\/mi><mi>m<\/mi><\/msub><mrow><mi>cos<\/mi><mo>\u2061<\/mo><\/mrow><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\">[<\/mo><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><\/mrow><mi>k<\/mi><mfrac><mi>x<\/mi><mn>2<\/mn><\/mfrac><mo>\u2212<\/mo><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><\/mrow><mi>\u03c9<\/mi><mfrac><mi>t<\/mi><mn>2<\/mn><\/mfrac><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">]<\/mo><\/mrow><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">U(x,t)=2u_{m}\\cos \\left[\\Delta k\\frac{x}{2}-\\Delta \\omega\\frac{t}{2} \\right]<\/annotation><\/semantics><\/math>, com velocidade de grupo<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>v_{g}=\\frac{\\Delta \\omega}{\\Delta k} \\\\\n.\\\\\nu(x,t)=U(x,t)\\cos\\left( \\bar{k}x-\\bar{\\omega}t\\right)<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>No caso mais geral de meios definidos como <strong>dispersivos<\/strong>, a velocidade de fase n\u00e3o \u00e9 constante, mas, sim, fun\u00e7\u00e3o do comprimento de onda, isto \u00e9, do n\u00famero de onda, logo, a <strong>velocidade de grupo<\/strong> \u00e9 diferente da <strong>velocidade de fase<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Dessa forma, teremos a frequ\u00eancia de batimentos dada por<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>\\omega_{bat}={\\Delta \\omega}={\\omega_{2}-\\omega_{1}}\\\\\n.\\\\\nf_{bat}=\\Delta f=f_{2}-f_{1}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Interfer\u00eancia de Ondas Sonoras<\/h2>\n\n\n\n<p>Consideremos duas ondas sendo emitidas por alto-falantes id\u00eanticos, ou seja, ondas id\u00eanticas, que podemos representar pelas equa\u00e7\u00f5es abaixo<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>u_{1}(x,t)=u_{m}\\cos(kr_{1}-wt)\\\\.\n\\\\\nu_{2}(x,t)=u_{m}\\cos(kr_{2}-wt)<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>as dist\u00e2ncias <math data-latex=\"r_{1}\"><semantics><msub><mi>r<\/mi><mn>1<\/mn><\/msub><annotation encoding=\"application\/x-tex\">r_{1}<\/annotation><\/semantics><\/math> e <math data-latex=\"r_{2}\"><semantics><msub><mi>r<\/mi><mn>2<\/mn><\/msub><annotation encoding=\"application\/x-tex\">r_{2}<\/annotation><\/semantics><\/math> poder\u00e3o ser diferentes e dizemos que <math data-latex=\"\\Delta r = r_{2}-r_{1}\"><semantics><mrow><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><\/mrow><mi>r<\/mi><mo>=<\/mo><msub><mi>r<\/mi><mn>2<\/mn><\/msub><mo>\u2212<\/mo><msub><mi>r<\/mi><mn>1<\/mn><\/msub><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\Delta r = r_{2}-r_{1}<\/annotation><\/semantics><\/math> \u00e9 a <strong>diferen\u00e7a de percurso<\/strong> entre as ondas.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"496\" height=\"795\" src=\"https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-009.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-1247\" srcset=\"https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-009.jpg 496w, https:\/\/fiziko.net\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/onda-009-187x300.jpg 187w\" sizes=\"(max-width: 496px) 100vw, 496px\" \/><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p>Analisando a interfer\u00eancia das ondas, utilizemos o princ\u00edpio da superposi\u00e7\u00e3o das ondas e determinemos a onda resultante, assim<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>u(x,t)=u_{1}(x,t)+u_{2}(x,t)\\\\.\n\\\\\nu(x,t)=u_{m}\\cos(kr_{1}-wt)+u_{m}\\cos(kr_{2}-wt)\\\\.\n\\\\\nu(x,t)=2u_{m}\\cos \\left( {kR-\\omega t}\\right) \\cos \\left( \\frac{k\\Delta r}{2}\\right)\\\\.\n\\\\\nu(x,t)=2u_{m}\\cos \\left(\\frac { k\\Delta r}{2} \\right)\\cos \\left( {kR-\\omega t}\\right) <\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>onde, <math data-latex=\"R=\\frac{r_{1}+r_{2}}{2}\"><semantics><mrow><mi>R<\/mi><mo>=<\/mo><mfrac><mrow><msub><mi>r<\/mi><mn>1<\/mn><\/msub><mo>+<\/mo><msub><mi>r<\/mi><mn>2<\/mn><\/msub><\/mrow><mn>2<\/mn><\/mfrac><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">R=\\frac{r_{1}+r_{2}}{2}<\/annotation><\/semantics><\/math> e a amplitude da onda resultantes \u00e9 <math data-latex=\"A_{R}=2u_{m}\\cos \\left( \\frac{k\\Delta r}{2}\\right)\"><semantics><mrow><msub><mi>A<\/mi><mi>R<\/mi><\/msub><mo>=<\/mo><mn>2<\/mn><msub><mi>u<\/mi><mi>m<\/mi><\/msub><mrow><mi>cos<\/mi><mo>\u2061<\/mo><\/mrow><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\">(<\/mo><mfrac><mrow><mi>k<\/mi><mrow><mi mathvariant=\"normal\">\u0394<\/mi><\/mrow><mi>r<\/mi><\/mrow><mn>2<\/mn><\/mfrac><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">A_{R}=2u_{m}\\cos \\left( \\frac{k\\Delta r}{2}\\right)<\/annotation><\/semantics><\/math>, nessas condi\u00e7\u00f5es tem-se que:<\/p>\n\n\n\n<p>Para a <strong>interfer\u00eancia construtiva<\/strong> podemos dizer que<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>\\cos \\left( \\frac{k\\Delta r}{2}\\right)=\\pm1 \\\\.\n\\\\\n\\frac{k\\Delta r}{2}=0, \\pi, 2\\pi, 3\\pi, ... =n\\pi, \\quad n=0, 1, 2, ...\\\\.\n\\\\\n\\frac{2\\pi\\Delta r}{2\\lambda}=n\\pi\\\\.\n\\\\\n\\Delta r = n\\lambda, \\quad n=0, 1, 2,...<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>Como podemos observar, quando a diferen\u00e7a de percurso for igual a um n\u00famero inteiro de comprimento de onda, a onda resultante ter\u00e1 a maior amplitude poss\u00edvel.<\/p>\n\n\n\n<p>Para a <strong>interfer\u00eancia destrutiva<\/strong> podemos dizer que<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>\\cos \\left( \\frac{k\\Delta r}{2}\\right)=0 \\\\.\n\\\\\n\\frac{k\\Delta r}{2}=\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{2}, \\frac{5\\pi}{2}, ... =m\\frac{\\pi}{2}, \\quad m=1, 3, 5,...\\\\.\n\\\\\n\\frac{2\\pi\\Delta r}{2\\lambda}=m\\frac{\\pi}{2}\\\\.\n\\\\\n\\Delta r = m\\frac{\\lambda}{2}, \\quad m=1, 3, 5,...<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>Nota-se que, quando a diferen\u00e7a de percurso for igual a um n\u00famero impar de meio comprimento de onda, a onda resultante \u00e9 anulada. O estudante deve tomar cuidado com o fato de que uma diferen\u00e7a de percurso igual a meio comprimento de onda defasa as ondas em 180\u00b0, veja a figura acima.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Efeito Doppler<\/h2>\n\n\n\n<p>O <strong>efeito Doppler<\/strong> estuda a mudan\u00e7a da frequ\u00eancia sonora devido ao movimento relativo entre a fonte e o observador, para simplificar os c\u00e1lculos vamos considerar o movimento em uma dimens\u00e3o, a fonte e o observador ir\u00e3o se mover ao longo do eixo x.<\/p>\n\n\n\n<p>Considere, inicialmente, que a fonte e o observador est\u00e3o parados, desta forma a fonte emite um som com frequ\u00eancia <math data-latex=\"f_{0}\"><semantics><msub><mi>f<\/mi><mn>0<\/mn><\/msub><annotation encoding=\"application\/x-tex\">f_{0}<\/annotation><\/semantics><\/math> e sua velocidade ser\u00e1 <math data-latex=\"v_{s}=\\lambda f_{0}\"><semantics><mrow><msub><mi>v<\/mi><mi>s<\/mi><\/msub><mo>=<\/mo><mi>\u03bb<\/mi><msub><mi>f<\/mi><mn>0<\/mn><\/msub><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">v_{s}=\\lambda f_{0}<\/annotation><\/semantics><\/math>. Esta \u00e9 a mesma frequ\u00eancia que o observador ir\u00e1 detectar. Agora considere que o <strong>observador se aproxima da fonte sonora<\/strong> com uma velocidade <math data-latex=\"v_{O}\"><semantics><msub><mi>v<\/mi><mi>O<\/mi><\/msub><annotation encoding=\"application\/x-tex\">v_{O}<\/annotation><\/semantics><\/math>, a volocidade do som que chegar\u00e1 ao ouvido do observador ser\u00e1 diferente, pois o n\u00famero de frentes de onda que o observador ir\u00e1 detectar aumentar\u00e1 devido ao movimento relativo do observador com o som, logo,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>v_{R}=v_{s}+v_{O}, \\quad \\text{Observador se aproximando da fonte}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>O comprimento de onda do som detectado pelo observador n\u00e3o sofre altera\u00e7\u00e3o, assim<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>v_{R}=\\lambda f' =v_{s}+v_{O} \\\\.\n\\\\\nf'=\\frac{v_{s}+v_{O}}{\\lambda}=\\frac{v_{s}+v_{O}}{v_{s}\/f_{0}}\\\\.\n\\\\\nf'=f_{0}\\frac{v_{s}+v_{O}}{v_{s}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>Considere que o <strong>observador se afasta da fonte sonora<\/strong> com uma velocidade <math data-latex=\"v_{O}\"><semantics><msub><mi>v<\/mi><mi>O<\/mi><\/msub><annotation encoding=\"application\/x-tex\">v_{O}<\/annotation><\/semantics><\/math>, a volocidade do som que chegar\u00e1 ao ouvido do observador ser\u00e1 diferente, pois o n\u00famero de frentes de onda que o observador ir\u00e1 detectar diminuir\u00e1 devido ao movimento relativo do observador com o som, logo,<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>v_{R}=v_{s}-v_{O}, \\quad \\text{Observador se afastando da fonte}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>O comprimento de onda do som detectado pelo observador n\u00e3o sofre altera\u00e7\u00e3o, assim<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>v_{R}=\\lambda f' =v_{s}-v_{O} \\\\.\n\\\\\nf'=\\frac{v_{s}-v_{O}}{\\lambda}=\\frac{v_{s}-v_{O}}{v_{s}\/f_{0}}\\\\.\n\\\\\nf'=f_{0}\\frac{v_{s}-v_{O}}{v_{s}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>Vamos considerar que o <strong>observador ficar\u00e1 parado e a fonte se mover\u00e1 com velocidade <\/strong><math data-latex=\"v_{F}\"><semantics><msub><mi>v<\/mi><mi>F<\/mi><\/msub><annotation encoding=\"application\/x-tex\">v_{F}<\/annotation><\/semantics><\/math>, desta forma, a frequ\u00eancia do som que chegar\u00e1 ao observador ser\u00e1 alterada devido ao movimento relativo da fonte e o som, logo, consideremos que <strong>a fonte se aproxima do observador<\/strong>, a velocidade relativa ser\u00e1<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>v_{R}=v_{s}-v_{F}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>Relacionando as duas frequ\u00eancias pelas equa\u00e7\u00f5es abaixo, teremos<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>v_{R}=v_{s}-v_{F}=\\lambda' f_{0}\\\\.\n\\\\\nf'=\\frac{v_{s}}{\\lambda'}=\\frac{v_{s}}{(v_{s}-v_{F})\/f_{0}}\\\\.\n\\\\\nf'=f_{0}\\frac{v_{s}}{v_{s}-v_{F}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>Consideremos que <strong>a fonte se afastando do observador<\/strong>, a velocidade relativa ser\u00e1<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>v_{R}=v_{s}+v_{F}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>Relacionando as duas frequ\u00eancias pelas equa\u00e7\u00f5es abaixo, teremos<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>v_{R}=v_{s}+v_{F}=\\lambda' f_{0}\\\\.\n\\\\\nf'=\\frac{v_{s}}{\\lambda'}=\\frac{v_{s}}{(v_{s}+v_{F})\/f_{0}}\\\\.\n\\\\\nf'=f_{0}\\frac{v_{s}}{v_{s}+v_{F}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>Para o caso geral, em que ambos est\u00e3o se movendo, teremos que arranjar a ordem dos sinais conforme o movimento relativo do observador e da fonte, assim, a nova frequ\u00eancia para o caso geral ser\u00e1<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>\\begin{cases}\nf'=f_{0}\\displaystyle\\frac{v_{s} \\pm v_{O}}{v_{s} \\pm v_{F}}\n\\end{cases}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>onde o sinal +, no numerador, indica que o <strong>observador se aproxima<\/strong> e o sinal \u2013 indica que <strong>se afasta<\/strong>, enquanto o sinal -, do denominador, indica que <strong>a fonte se aproxima <\/strong>e o sinal + indica<strong> que a fonte se afasta<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Um estudante desatento poderia pensar que os efeitos da fonte e do observador em movimento poderiam ser levados em conta usando a velocidade relativa de um em rela\u00e7\u00e3o ao outro. Mas isso est\u00e1 incorreto. As ondas sonoras s\u00e3o ondas mec\u00e2nicas, logo precisam de um meio material para se propagarem. Com isso, a atmosfera se torna um referencial privilegiado para a propaga\u00e7\u00e3o do som, portanto devemos levar em considera\u00e7\u00e3o as velocidades da fonte e do observador em rela\u00e7\u00e3o ao ar.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Ondas de Choque<\/h2>\n\n\n\n<p>Todos j\u00e1 ouvimos falar do Concorde, um avi\u00e3o que voava com velocidades maiores do que a do som, ou seja, um avi\u00e3o supers\u00f4nico. Outra curiosidade \u00e9 o caso do&nbsp;<strong>Lockheed SR-71 Blackbird<\/strong>, que&nbsp;\u00e9 o avi\u00e3o a jato tripulado mais r\u00e1pido do mundo, capaz de atingir velocidades superiores a<strong> Mach 3,3 (mais de 3.500 km\/h)<\/strong>. O avi\u00e3o n\u00e3o tripulado (ve\u00edculo hipers\u00f4nico) mais r\u00e1pido do mundo \u00e9 o&nbsp;<strong>NASA X-43A<\/strong>, que atingiu uma velocidade recorde de&nbsp;<strong>Mach 9,6 (cerca de 11.760 km\/h)<\/strong>&nbsp;em 2003. Voc\u00ea tamb\u00e9m deve ter ouvido falar no estrondo supers\u00f4nico, que ocorre quandoa barreira do som \u00e9 quebrada.<\/p>\n\n\n\n<p>Sabemos que, quando a fonte se aproxima do observador em repouso, o comprimento de onda percebida pelo observador ser\u00e1<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>\\lambda'=\\frac{v_{s}-v_{F}}{f_{0}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>Note que, quando a velocidade da fonte se iguala a velocidade do som, o comprimento de onda tende a zero e as cristas de onda s\u00e3o agrupadas a frente da fonte. Quando isso ocorre, o ar agrupado exerce uma for\u00e7a enorme sobre a fonte e ocorre um aumento da resist\u00eancia do ar. Este \u00e9 o fen\u00f4meno conhecido como <strong>barreira do som<\/strong>. Essa barreira era temida, nos anos 40, pelos pilotos de jatos que tentavam ultrapass\u00e1-la, pois o efeito era t\u00e3o violento que alguns deles morreram, pois os avi\u00f5es se quebravam.<\/p>\n\n\n\n<p>Quando a fonte se deslocar com velocidade maior que a velocidade do som, as equa\u00e7\u00f5es do efeito Doppler perder\u00e3o o seu sentido f\u00edsico, assim ap\u00f3s um intervalo de tempo <math data-latex=\"t\"><semantics><mi>t<\/mi><annotation encoding=\"application\/x-tex\">t<\/annotation><\/semantics><\/math>, a onda emitida em um certo ponto se propagou em uma esfera de raio <math data-latex=\"r=v_{s}t\"><semantics><mrow><mi>r<\/mi><mo>=<\/mo><msub><mi>v<\/mi><mi>s<\/mi><\/msub><mi>t<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">r=v_{s}t<\/annotation><\/semantics><\/math>, enquanto que a fonte andou uma dist\u00e2ncia maior <math data-latex=\"D=v_{F}t\"><semantics><mrow><mi>D<\/mi><mo>=<\/mo><msub><mi>v<\/mi><mi>F<\/mi><\/msub><mi>t<\/mi><\/mrow><annotation encoding=\"application\/x-tex\">D=v_{F}t<\/annotation><\/semantics><\/math>. Assim sendo, todas as ondas geradas pela fonte ficaram contidas em um cone, conhecido como <strong>Cone de Mach<\/strong>, observe a simula\u00e7\u00e3o no Geogebra.<\/p>\n\n\n\n<iframe src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/classic\/qh3838ba\" width=\"100%\" height=\"500\" frameborder=\"0\" marginwidth=\"0\" marginheight=\"0\" allowfullscreen><\/iframe>\n\n\n\n<p>O \u00e2ngulo da onda de choque <math data-latex=\"\\theta\"><semantics><mi>\u03b8<\/mi><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\theta<\/annotation><\/semantics><\/math>, \u00e9 calculado pela equa\u00e7\u00e3o<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-katex-display-block katex-eq\" data-katex-display=\"true\"><pre>\\sin\\theta=\\frac{v_{s}}{v_{F}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n<p>a raz\u00e3o <math data-latex=\"\\displaystyle\\frac{v_{F}}{v_{s}}\"><semantics><mstyle scriptlevel=\"0\" displaystyle=\"true\"><mfrac><msub><mi>v<\/mi><mi>F<\/mi><\/msub><msub><mi>v<\/mi><mi>s<\/mi><\/msub><\/mfrac><\/mstyle><annotation encoding=\"application\/x-tex\">\\displaystyle\\frac{v_{F}}{v_{s}}<\/annotation><\/semantics><\/math> chama-se <strong>N\u00famero de Mach<\/strong>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>As ondas longitudinais s\u00e3o caracterizadas por produzirem oscila\u00e7\u00f5es ao longo da dire\u00e7\u00e3o de propaga\u00e7\u00e3o do pulso energ\u00e9tico, ou seja, se o pulso move-se pelo eixo x positivo, as camadas de mat\u00e9ria se deslocam ao longo do eixo x tamb\u00e9m, e um bom exemplo dessa onda \u00e9 o som. Podemos resumir uma onda sonora se propagando&hellip; <br \/> <a class=\"read-more\" href=\"https:\/\/fiziko.net\/?page_id=1228\">Leia mais<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-1228","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/fiziko.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/1228","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/fiziko.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/fiziko.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/fiziko.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/fiziko.net\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=1228"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/fiziko.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/1228\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1267,"href":"https:\/\/fiziko.net\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/pages\/1228\/revisions\/1267"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/fiziko.net\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=1228"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}