{"id":391,"date":"2020-08-14T23:19:37","date_gmt":"2020-08-15T03:19:37","guid":{"rendered":"http:\/\/fiziko.net\/?page_id=391"},"modified":"2020-09-24T09:32:55","modified_gmt":"2020-09-24T13:32:55","slug":"trabalho-e-energia","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/fiziko.net\/?page_id=391","title":{"rendered":"Trabalho e Energia"},"content":{"rendered":"\n

Consideremos uma part\u00edcula de massa m<\/em> submetida a a\u00e7\u00e3o de uma for\u00e7a total F<\/strong> que \u00e9 fun\u00e7\u00e3o da posi\u00e7\u00e3o, da velocidade e do instantes de tempo em que se encontra a part\u00edcula, dessa forma a situa\u00e7\u00e3o considerada \u00e9 descrita pela express\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

\\vec{F}=f(\\vec{r},\\vec{v},t)=m\\vec{a}<\/div>\n\n\n\n

Sabe-se que quando uma for\u00e7a resultante \u00e9 aplicada a um objeto de massa m<\/em>, este altera seu estado, e essa mud\u00e7a \u00e9 observada em sua velocidade, que pode aumentar, diminuir ou at\u00e9 zerar. <\/p>\n\n\n\n

Nestas altera\u00e7\u00f5es de estado do corpo, causadas pela a\u00e7\u00e3o da for\u00e7a, dizemos que um trabalho W<\/em><\/strong> \u00e9 realizado pela for\u00e7a sobre o objeto.<\/p>\n\n\n\n

TRABALHO<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Trabalho W<\/strong><\/em> \u00e9 a energia transferida para um objeto ou de um objeto por meio de uma for\u00e7a que age sobre o objeto. Quando a energia \u00e9 transferida para o objeto, o trabalho \u00e9 positivo; quando a energia \u00e9 transferida do objeto, o trabalho \u00e9 negativo.<\/p>\n\n\n\n

O conceito de “vis viva” do corpo, como a designava Leibniz, ao produto da massa de um corpo pelo quadrado de sua velocidade, era aplicado quando um corpo estiva sujeito \u00e0 a\u00e7\u00e3o de uma for\u00e7a resultante diferente de zero, o que resultava na n\u00e3o conserva\u00e7\u00e3o da sua “for\u00e7a viva”.<\/p>\n\n\n\n

Consideremos o MRUV, como sabemos uma for\u00e7a resultante diferente de zero atua sobre um corpo de massa m<\/em> produzindo uma acelera\u00e7\u00e3o constante a<\/em>, pela equa\u00e7\u00e3o de Torricelli tem-se<\/p>\n\n\n\n

v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\\Delta s<\/div>\n\n\n\n

multiplicando-se ambos os lados por m<\/em><\/p>\n\n\n\n

mv_{f}^{2}=mv_{i}^{2}+2ma\\Delta s<\/div>\n\n\n\n
mv_{f}^{2}-mv_{i}^{2}=2ma\\Delta s<\/div>\n\n\n\n
mv_{f}^{2}-mv_{i}^{2}=2F\\Delta s<\/div>\n\n\n\n

Neste caso, h\u00e1 um aumento da “vis viva”<\/em> ou “for\u00e7a viva” do corpo, que, para uma dada dist\u00e2ncia, ser\u00e1 tanto maior quanto maior for a intensidade da for\u00e7a aplicada F.<\/p>\n\n\n\n

Se a for\u00e7a resultante aplicada F for direcionada a um \u00e2ngulo \u03b8 com a horizontal, a componente da for\u00e7a F que altera o estado do corpo \u00e9 a paralela ao deslocamento, logo ter\u00edamos<\/p>\n\n\n\n

mv_{f}^{2}-mv_{i}^{2}=2Fcos\\theta \\Delta s<\/div>\n\n\n\n

Por outro lado, se a for\u00e7a resultante aplicada fosse ocasionada pelo atrito, a part\u00edcula iria parar ap\u00f3s percorrer a dist\u00e2ncia \u0394s, consequentemente ter\u00eda-se a total transforma\u00e7\u00e3o da “vis viva”<\/em> original em “vis mortae”<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

No per\u00edodo compreendido entre 1819 a 1839, atrav\u00e9s de obras como as de Gustave Coriolis (1792-1843), Jean Poncelet (1788-1867) e Claude Navier (1785-1836), entre outros, com temas centrais de estudo versando sobre a an\u00e1lise de m\u00e1quinas em movimento, que o conceito de trabalho mec\u00e2nico<\/strong><\/em> se estabelece, definitivamente. O resultado disto \u00e9 a defini\u00e7\u00e3o da energia cin\u00e9tica<\/strong><\/em> de uma part\u00edcula<\/p>\n\n\n\n

E_{c}=\\frac{1}{2}mv^2<\/div>\n\n\n\n

O que nos d\u00e1, pelas equa\u00e7\u00f5es obtidas acima<\/p>\n\n\n\n

E_{cf}-E_{ci}=F_{R}cos\\theta \\Delta s <\/div>\n\n\n\n
\\Delta E_{c}=W<\/div>\n\n\n\n

Para calcular o trabalho que uma for\u00e7a realiza sobre um objeto quando este sofre um deslocamento, usamos apenas a componente da for\u00e7a paralela ao deslocamento do objeto. A componente da for\u00e7a perpendicular ao deslocamento n\u00e3o realiza trabalho.<\/p>\n\n\n\n

O trabalho realizado por uma for\u00e7a \u00e9 positivo, se a for\u00e7a possui uma componente vetorial no sentido do deslocamento, e negativo, se a for\u00e7a possui uma componente vetorial no sentido oposto. Se a for\u00e7a n\u00e3o possui uma componente vetorial na dire\u00e7\u00e3o do deslocamento, o trabalho \u00e9 nulo.<\/p>\n\n\n\n

Com o avan\u00e7o da Matem\u00e1tica e dos conceitos f\u00edsicos o trabalho passou a ser definido como<\/p>\n\n\n\n

W=\\int\\vec{F} \\sdot d \\vec{r}<\/div>\n\n\n\n

O PRODUTO INTERNO OU PRODUTO ESCALAR<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Devemos discutir um pouco sobre o produto interno entre dois vetores quaisquer, para isso, consideremos os vetores  e , escritos em termos dos vetores can\u00f4nicos , com m\u00f3dulos  e , sabendo que o \u00e2ngulo \u03b8<\/em> \u00e9 o \u00e2ngulo formado entre os vetores  e , quando estes compartilham a mesma origem, tem-se<\/p>\n\n\n\n

\\vec{r}_{1} \\sdot \\vec{r}_{2}= |\\vec{r}_{1}||\\vec{r}_{2}|\\cos \\theta<\/div>\n\n\n\n

ou seja, o produto interno \u00e9 o n\u00famero obtido quando multiplicamos o m\u00f3dulo do primeiro vetor pelo m\u00f3dulo do segundo vetor pelo cosseno do \u00e2ngulo formado entre os vetores envolvidos no produto.<\/p>\n\n\n\n

A defini\u00e7\u00e3o acima nos leva a considerar os produtos entre os vetores can\u00f4nicos , como todos s\u00e3o vetores ortogonais entre si, teremos<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\n\\hat{i} \\sdot \\hat{i}=\\hat{j} \\sdot \\hat{j}=\\hat{k} \\sdot \\hat{k}=1 \\\\\n\\hat{i} \\sdot \\hat{j}=\\hat{j} \\sdot \\hat{i}=0 \\\\\n\\hat{i} \\sdot \\hat{k}=\\hat{k} \\sdot \\hat{i}=0 \\\\\n\\hat{j} \\sdot \\hat{k}=\\hat{k} \\sdot \\hat{j}=0\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

O produto escalar possui as seguintes propriedades:<\/p>\n\n\n\n

looks_one<\/i> O produto escalar entre dois vetores n\u00e3o depende da ordem for fatores, ou seja, o produto \u00e9 comutativo.<\/p>\n\n\n\n

\\vec{r}_{1} \\sdot \\vec{r}_{2}=\\vec{r}_{2} \\sdot \\vec{r}_{1}<\/div>\n\n\n\n

looks_two<\/i> O produto escalar de vetores \u00e9 distributivo em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 soma de vetores.<\/p>\n\n\n\n

(\\vec{r}_{1} +\\vec{r}_{2}) \\sdot \\vec{r}_{3}=\\vec{r}_{1} \\sdot \\vec{r}_{3}+\\vec{r}_{2} \\sdot \\vec{r}_{3}<\/div>\n\n\n\n

looks_3<\/i> Quando um dos vetores do produto escalar \u00e9 multiplicado por um escalar (n\u00famero), o produto fica multiplicado por este escalar (n\u00famero).<\/p>\n\n\n\n

(\\alpha \\vec{r}_{1}) \\sdot \\vec{r}_{2}=\\vec{r}_{1} \\sdot (\\alpha \\vec{r}_{2})=\\alpha (\\vec{r}_{1} \\sdot \\vec{r}_{2})<\/div>\n\n\n\n

looks_4<\/i> A derivada do produto escalar entre dois vetores \u00e9 igual ao produto escalar da derivada do primeiro vetor pelo segundo vetor somado pelo produto escalar entre o primeiro vetor e a derivada do segundo vetor.<\/p>\n\n\n\n

\\frac{d}{dt}(\\vec{r}_{1} \\sdot \\vec{r}_{2})= \\frac{d\\vec{r}_{1}}{dt} \\sdot \\vec{r}_{2}+\\vec{r}_{1} \\sdot \\frac{d\\vec{r}_{2}}{dt} <\/div>\n\n\n\n

Utilizando as rela\u00e7\u00f5es acima e as propriedades do produto escalar, podemos realizar o produto escalar entre dois vetores como se segue;<\/p>\n\n\n\n

\\vec{r}_{1} \\sdot \\vec{r}_{2}=(x_{1}\\hat{i}+y_{1}\\hat{j}+z_{1}\\hat{k}) \\sdot (x_{2}\\hat{i}+y_{2}\\hat{j}+z_{2}\\hat{k})<\/div>\n\n\n\n

aplicando-se a propriedade distributiva, tem-se<\/p>\n\n\n\n

\\begin{array}{cc}\n \\vec{r}_{1} \\sdot \\vec{r}_{2}= & x_{1}x_{2} \\underbrace{(\\hat{i} \\sdot \\hat{i})}_{\\text{=1}}+& x_{1}y_{2} \\underbrace{(\\hat{i} \\sdot \\hat{j})}_{\\text{=0}}+ & x_{1}z_{2} \\underbrace{(\\hat{i} \\sdot \\hat{k})}_{\\text{=0}}+ \\\\\n & y_{1}x_{2} \\underbrace{(\\hat{j} \\sdot \\hat{i})}_{\\text{=0}}+ & y_{1}y_{2} \\underbrace{(\\hat{j} \\sdot \\hat{j})}_{\\text{=1}}+ & y_{1}z_{2} \\underbrace{(\\hat{j} \\sdot \\hat{k})}_{\\text{=0}}+ \\\\\n & z_{1}x_{2} \\underbrace{(\\hat{k} \\sdot \\hat{i})}_{\\text{=0}}+ & z_{1}y_{2} \\underbrace{(\\hat{k} \\sdot \\hat{j})}_{\\text{=0}}+ & z_{1}z_{2} \\underbrace{(\\hat{k} \\sdot \\hat{k})}_{\\text{=1}} \\\\ \n\\end{array}<\/div>\n\n\n\n

portanto,<\/p>\n\n\n\n

\\vec{r}_{1} \\sdot \\vec{r}_{2}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}<\/div>\n\n\n\n

Para encontrarmos o trabalho realizado pela for\u00e7a resultante, fazemos<\/p>\n\n\n\n

W=\\int{\\vec{F}_{R}\\sdot d\\vec{r}}=\\int{\\sum_{i=0}^{N}{\\vec{F}_{i}\\sdot d\\vec{r}}}<\/div>\n\n\n\n

ou<\/p>\n\n\n\n

W=\\int{\\vec{F}_{1} \\sdot d\\vec{r}}+\\int{\\vec{F}_{2} \\sdot d\\vec{r}}+\\cdots+\\int{\\vec{F}_{N} \\sdot d\\vec{r}}<\/div>\n\n\n\n

ou seja,<\/p>\n\n\n\n

W=W_{1}+W_{2}+ \\cdots+W_{N}<\/div>\n\n\n\n

Conclui-se que o trabalho total realizado sobre uma part\u00edcula de massa m<\/em> \u00e9 a soma dos trabalhos de cada for\u00e7a que atua sobre a part\u00edcula, portanto \u00e9 o trabalho da for\u00e7a resultante.<\/p>\n\n\n\n

W_{T}=\\sum_{i=1}^{N}{W_{i}}=\\int{\\vec{F}_{R} \\sdot d\\vec{r}}<\/div>\n\n\n\n

A unidade SI<\/strong> de trabalho \u00e9 o joule<\/strong><\/em> (J), nome dao em homenagem ao f\u00edsico ingl\u00eas do s\u00e9culo XIX James Prescott Joule.<\/p>\n\n\n\n

1 J=1N.m=1kg.m^2.s^{-2}<\/div>\n\n\n\n

TRABALHO REALIZADO PELA FOR\u00c7A GRAVITACIONAL<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Dizemos que toda for\u00e7a tem capacidade de produzir um deslocamento quando atua sobre um corpo de massa m<\/em>, se considerarmos, no caso do corpo abandonado pr\u00f3ximo \u00e0 superf\u00edcie terrestre, este partindo do repouso, ainda, considerando um referencial inercial no solo, e este caindo sem a influ\u00eancia da resist\u00eancia do ar, figura abaixo, teremos o vetor posi\u00e7\u00e3o inicial do corpo puntiforme dado por  e o vetor posi\u00e7\u00e3o final, com , a for\u00e7a gravitacional que atua sobre o corpo puntiforme dado por , onde g<\/em> \u00e9 a acelera\u00e7\u00e3o da gravidade terrestre, e o vetor deslocamento ser\u00e1 . A varia\u00e7\u00e3o da velocidade da part\u00edcula, sabendo que a acelera\u00e7\u00e3o da  g<\/em>  gravidade terrestre,  nestas  condi\u00e7\u00f5es  pode  ser   considerada   constante, ser\u00e1 , podemos definir o trabalho realizado por uma for\u00e7a constante como sendo<\/p>\n\n\n\n

W=\\int{\\vec{F}_{g} \\sdot d\\vec{r}}=\\vec{F}_{g}\\sdot \\int{d\\vec{r}}=\\vec{F}_{g} \\sdot \\Delta \\vec{r}<\/div>\n\n\n\n

substituindo os valores , e como a for\u00e7a gravitacional \u00e9 constante, temos<\/p>\n\n\n\n

W=\\left( -mg\\hat { k } \\right) \\sdot \\left( -|{ z }_{ f }-{ z }_{ i }|\\hat { k } \\right) <\/div>\n\n\n\n
W=mg|z_f-z_i|<\/div>\n\n\n\n
\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Se considerarmos a for\u00e7a gravitacional como<\/p>\n\n\n\n

\\vec{F}_{g}=G\\frac{m_1m_2}{r^2}\\hat{r}<\/div>\n\n\n\n

O trabalho ser\u00e1<\/p>\n\n\n\n

W=\\int{\\vec{F}_{g}\\sdot d\\vec{r}}=\\int_{r1}^{r2}{G\\frac{m_1m_2}{r^2}dr}<\/div>\n\n\n\n
W=Gm_1m_2\\int_{r_1}^{r_2}{\\frac{dr}{r^2}}=Gm_1m_2\\left[ \\frac{r^{-2+1}}{-2+1} \\right]_{r1}^{r2}<\/div>\n\n\n\n
W=-Gm_1m_2\\left( \\frac{1}{r_2}-\\frac{1}{r_1} \\right)<\/div>\n\n\n\n

Podemos perceber os valores de e ir\u00e3o definir o sinal do trabalho.<\/p>\n\n\n\n

TRABALHO REALIZADO PELA FOR\u00c7A EL\u00c1STICA<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Considerando que a for\u00e7a exercida pela mola sobre um bloco de massa m<\/em> \u00e9 dada pela lei de Hooke<\/p>\n\n\n\n

\\vec{F}_{e}=-k\\Delta \\vec{r}<\/div>\n\n\n\n

onde k \u00e9 a constante el\u00e1stica da mola, um n\u00famero positivo, e o vetor deslocamento produzido sobre a mola. <\/p>\n\n\n\n

Para simplificar nosso c\u00e1lculos tomaremos apenas o deslocamento na dire\u00e7\u00e3o x<\/em>, assim, o trabalho realizado pela mola sobre o bloco, quando este \u00e9 puxado distendendo a mola, fica<\/p>\n\n\n\n

W=\\int_{x_1}^{x_2}{(-F_{ex}\\hat{i}) \\sdot (dx \\hat{i})}=\\int_{x_1}^{x_2}{(-kxdx)}\\underbrace{(\\hat{i} \\sdot \\hat{i})}_{\\text{=1}}<\/div>\n\n\n\n
W=-k \\left[ \\frac{x^{1+1}}{1+1} \\right]_{x_1}^{x_2}=-\\frac{1}{2}k\\left( x_{2}^{2}-x_{1}^{2} \\right)<\/div>\n\n\n\n

Se a mola \u00e9 esticada, ent\u00e3o x<\/em> \u00e9 positivo e a componente da for\u00e7a el\u00e1stica \u00e9 negativa. Se a mola \u00e9 comprimida, ent\u00e3o x<\/em> \u00e9 negativo e a componente da for\u00e7a el\u00e1stica \u00e9 positiva.<\/p>\n\n\n\n

W=-\\left( \\frac{1}{2}kx_{2}^{2}- \\frac{1}{2}kx_{1}^{2} \\right)<\/div>\n\n\n\n

FOR\u00c7AS CONSERVATIVAS E N\u00c3O-CONSERVATIVAS<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Uma for\u00e7a cujo trabalho, em qualquer deslocamento, depende apenas dos pontos inicial e final do deslocamento \u00e9 chamada for\u00e7a conservativa<\/strong><\/em>, ou ainda, for\u00e7as conservativas s\u00e3o aquelas que realizam o mesmo trabalho para qualquer caminho poss\u00edvel entre dois pontos.<\/p>\n\n\n\n

Listaremos tr\u00eas propriedades das for\u00e7as conservativas;<\/p>\n\n\n\n

looks_one<\/i> O trabalho deve ser aditivo.<\/p>\n\n\n\n

W(x_1,x_3)=W(x_1,x_2) + W(x_2,x_3)<\/div>\n\n\n\n

looks_two<\/i> O trabalho em um circuito fechado \u00e9 nulo.<\/p>\n\n\n\n

W(x_1,x_1)=0<\/div>\n\n\n\n

ou<\/p>\n\n\n\n

W(x_1,x_2)=-W(x_2,x_1)<\/div>\n\n\n\n

As forcas que n\u00e3o s\u00e3o conservativas violam essas propriedades.<\/p>\n\n\n\n

Denominamos for\u00e7a n\u00e3o-conservativa<\/strong><\/em> a for\u00e7a que n\u00e3o \u00e9 conservativa e dizemos que ela \u00e9 dissipativa<\/strong><\/em> no caso em que \u00e9 negativo o trabalho que realiza em caminhos fechados ou em qualquer caminho relevante no movimento em tela.<\/p>\n\n\n\n

POT\u00caNCIA<\/strong><\/p>\n\n\n\n

A taxa de varia\u00e7\u00e3o com o tempo do trabalho realizado por uma for\u00e7a recebe o nome de pot\u00eancia<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n

A pot\u00eancia instant\u00e2nea<\/strong> P<\/em> \u00e9 a taxa de varia\u00e7\u00e3o instant\u00e2nea com a qual o trabalho \u00e9 realizado e \u00e9 definida como<\/p>\n\n\n\n

P=\\frac{dW}{dt}<\/div>\n\n\n\n

A pot\u00eancia m\u00e9dia<\/strong> desenvolvida durante um intervalo de tempo \u0394t, de uma for\u00e7a que realiza um trabalho W \u00e9<\/p>\n\n\n\n

P_{med}=\\frac{W}{\\Delta t}<\/div>\n\n\n\n

Tamb\u00e9m podemos expressar a taxa com a qual uma for\u00e7a realiza trabalho sobre uma part\u00edcula, ou um objeto que se comporta como uma part\u00edcula, em termos da for\u00e7a e da velocidade da part\u00edcula.<\/p>\n\n\n\n

P=\\frac{dW}{dt}=\\frac{\\vec{F} \\sdot d\\vec{r}}{dt}=\\vec{F} \\sdot \\frac{ d\\vec{r}}{dt}<\/div>\n\n\n\n
P=\\vec{F} \\sdot \\vec{v}<\/div>\n\n\n\n

A unidade de pot\u00eancia do SI \u00e9 o joule por segundo. Essa unidade \u00e9 usada com tanta frequ\u00eancia que recebeu um nome especial, o watt (W), em homenagem a James Watt, cuja contribui\u00e7\u00e3o foi fundamental para o aumento da pot\u00eancia das m\u00e1quinas a vapor.<\/p>\n\n\n\n

1 watt=1W=1J\/s=0,738 ft.lb\/s<\/div>\n\n\n\n
1 hp = 745,7W \\\\\n1cv=735,5W<\/div>\n\n\n\n

APLICA\u00c7\u00d5ES<\/strong><\/p>\n\n\n\n

play_circle_outline<\/i><\/p>\n\n\n\n

\n