{"id":545,"date":"2020-08-25T21:04:25","date_gmt":"2020-08-26T01:04:25","guid":{"rendered":"http:\/\/fiziko.net\/?page_id=545"},"modified":"2020-10-19T18:12:38","modified_gmt":"2020-10-19T22:12:38","slug":"conservacao-de-energia","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/fiziko.net\/?page_id=545","title":{"rendered":"Conserva\u00e7\u00e3o de Energia"},"content":{"rendered":"\n

Dizemos que uma for\u00e7a \u00e9 conservativa<\/em><\/strong> quando o trabalho em um deslocamento depende dos seus pontos inicial e final. <\/p>\n\n\n\n

Chamaremos de posi\u00e7\u00e3o-padr\u00e3o<\/em><\/strong> a posi\u00e7\u00e3o final no intervalo de integra\u00e7\u00e3o e deixaremos a posi\u00e7\u00e3o inicial livre para assumir qualquer valor poss\u00edvel, e para toda for\u00e7a conservativa podemos associar uma fun\u00e7\u00e3o que chamaremos de energia potencial<\/em><\/strong> e \u00e9 definida pela integral a seguir<\/p>\n\n\n\n

U(r)=\\int_{r_i}^{r_f}{\\vec{F} \\sdot d\\vec{r}}=\\int_{r}^{r_p}{\\vec{F} \\sdot d\\vec{r}}=W(r,r_p)<\/div>\n\n\n\n

A energia potencial de uma part\u00edcula em uma dada posi\u00e7\u00e3o \u00e9 o trabalho que seria realizado pela for\u00e7a conservativa, se a part\u00edcula fosse dessa posi\u00e7\u00e3o at\u00e9 uma posi\u00e7\u00e3o fixa escolhida como padr\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

Utilizando-se as propriedades do trabalho de for\u00e7as conservativas podemos escrever que<\/p>\n\n\n\n

W(r_1,r_2)=W(r_1,r_p)+W(r_p,r_2) \\\\\nW(r_1,r_2)=W(r_1,r_p)-W(r_2,r_p) \\\\\nW(r_1,r_2)=U(r_1)-U(r_2) \\\\\nW(r_1,r_2)=- \\left[U(r_2)-U(r_1) \\right] \\\\<\/div>\n\n\n\n

conclui-se que, o trabalho realizado por uma for\u00e7a conservativa sobre uma part\u00edcula, quando ela sofre um certo deslocamento, e menos a varia\u00e7\u00e3o da energia potencial nesse deslocamento.<\/p>\n\n\n\n

W_{fc}=-\\Delta U<\/div>\n\n\n\n

A defini\u00e7\u00e3o acima indica que o trabalho da for\u00e7a conservativa \u00e9 igual a menos a varia\u00e7\u00e3o da energia potencial.<\/p>\n\n\n\n

Se uma for\u00e7a tem componente apenas ao longo de uma dada dire\u00e7\u00e3o e \u00e9 conservativa, ent\u00e3o sua componente \u00e9 o negativo da derivada da energia potencial em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 coordenada dessa dire\u00e7\u00e3o, logo<\/p>\n\n\n\n

F_r=- \\frac{dU(r)}{dr}<\/div>\n\n\n\n

Vamos considerar que um objeto de massa m<\/em> est\u00e1 sobre a influ\u00eancia de N for\u00e7as, que podem ser conservativas<\/em> ou n\u00e3o-conservativas<\/em>, assim, a for\u00e7a resultante \u00e9 escrita como<\/p>\n\n\n\n

\\vec{F_R}=\\sum_{i=1}^{N}{\\vec{F_i}} <\/div>\n\n\n\n

Podemos separar essas for\u00e7as em dois grupos, F<\/strong> (for\u00e7as conservativas) e F’ <\/strong>(for\u00e7as n\u00e3o-conservativas), logo<\/p>\n\n\n\n

\\vec{F}_R=\\sum_{k=1}^{n}{\\vec{F}_k}+\\sum_{l=1}^{m}{\\vec{F’}_l}<\/div>\n\n\n\n

onde N=n+m.<\/p>\n\n\n\n

Calculando-se o trabalho da for\u00e7a resultante, obtemos<\/p>\n\n\n\n

W(\\vec{F}_R)=W_T=\\sum_{k=1}^{n}{\\int{\\vec{F}_k}\\sdot d\\vec{r}}+\\sum_{l=1}^{m}{\\int{\\vec{F’}_l}\\sdot d\\vec{r}}<\/div>\n\n\n\n

Se utilizarmos o teorema do trabalho-energia cin\u00e9tica<\/em>, temos<\/p>\n\n\n\n

W_T=\\Delta E_c=\\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\\frac{1}{2}mv_{i}^{2}<\/div>\n\n\n\n

logo,<\/p>\n\n\n\n

\\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\\frac{1}{2}mv_{i}^{2}=\\sum_{k=1}^{n}{\\int{\\vec{F}_k}\\sdot d\\vec{r}}+\\sum_{l=1}^{m}{\\int{\\vec{F’}_l}\\sdot d\\vec{r}}<\/div>\n\n\n\n

Sabemos que o trabalho das for\u00e7as conservativas \u00e9 igual ao negativo da varia\u00e7\u00e3o da energia potencial<\/p>\n\n\n\n

\\sum_{k=1}^{n}{\\int{\\vec{F}_k}\\sdot d\\vec{r}}=-\\sum_{k=1}^{n}{\\Delta U_k}<\/div>\n\n\n\n

portanto,<\/p>\n\n\n\n

\\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\\frac{1}{2}mv_{i}^{2}=-\\sum_{k=1}^{n}{\\Delta U_k}+\\sum_{l=1}^{m}{\\int{\\vec{F’}_l}\\sdot d\\vec{r}}<\/div>\n\n\n\n
\\sum_{l=1}^{m}{\\int{\\vec{F’}_l}\\sdot d\\vec{r}}=\\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\\frac{1}{2}mv_{i}^{2}+\\sum_{k=1}^{n}{\\Delta U_k}<\/div>\n\n\n\n

O lado esquerdo da equa\u00e7\u00e3o acima \u00e9 o trabalho total das for\u00e7as n\u00e3o-conservativas<\/em> e o lado direito \u00e9 a varia\u00e7\u00e3o da energia mec\u00e2nica<\/em><\/strong> da part\u00edcula, resultando<\/p>\n\n\n\n

W_{fnc}=\\sum_{l=1}^{m}{\\int{\\vec{F’}_l}\\sdot d\\vec{r}}<\/div>\n\n\n\n

e a energia mec\u00e2nica<\/em><\/strong> \u00e9 difinida como<\/p>\n\n\n\n

\\Delta E=\\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\\frac{1}{2}mv_{i}^{2}+\\sum_{k=1}^{n}{ \\left(U_{k,f}- U_{k,i}\\right)}<\/div>\n\n\n\n
\\Delta E=\\frac{1}{2}mv_{f}^{2} +\\sum_{k=1}^{n}{U_{k,f}}- \\left[ \\frac{1}{2}mv_{i}^{2}+\\sum_{k=1}^{n}{ U_{k,i}} \\right]<\/div>\n\n\n\n
\\Delta E=E_f-E_i<\/div>\n\n\n\n

Onde a energia mec\u00e2nica<\/em><\/strong> \u00e9 definida como<\/p>\n\n\n\n

E=\\frac{1}{2}mv^{2} +\\sum_{k=1}^{n}{U_{k}}<\/div>\n\n\n\n

Podemos enunciar a Lei da Conserva\u00e7\u00e3o da Energia<\/em><\/strong> como a varia\u00e7\u00e3o da energia mec\u00e2nica de uma part\u00edcula em qualquer intervalo de tempo \u00e9 igual ao trabalho realizado pela soma de todas as for\u00e7as nao-conservativas que agem sobre a part\u00edcula.<\/p>\n\n\n\n

W_{fnc}=\\Delta E<\/div>\n\n\n\n

Fica bastante claro que, quando n\u00e3o h\u00e1 for\u00e7as dissipativas, ou seja, for\u00e7as n\u00e3o-conservativas<\/em> atuando sobre a part\u00edcula de massa m<\/em>, a energia mec\u00e2nica conservada<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n

W_{fnc}=0 \\\\\n\\Delta E=0<\/div>\n\n\n\n

logo,<\/p>\n\n\n\n

\\frac{1}{2}mv_{f}^{2} +\\sum_{k=1}^{n}{U_{k,f}} = \\frac{1}{2}mv_{i}^{2}+\\sum_{k=1}^{n}{ U_{k,i}}<\/div>\n\n\n\n

ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\\Delta U_g=mg(z_f-z_i)=mg(h_f-h_i)<\/div>\n\n\n\n
\\Delta U_g=Gm_1m_2 \\left( \\frac{1}{r_f}-\\frac{1}{r_i}\\right)<\/div>\n\n\n\n

ENERGIA POTENCIAL EL\u00c1STICA<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Em uma dimens\u00e3o, ou seja, ao longo do eixo x<\/em><\/p>\n\n\n\n

\\Delta U_e=\\frac{1}{2}k(x_{f}^{2}-x_{i}^{2})<\/div>\n\n\n\n

APLICA\u00c7\u00d5ES<\/strong><\/p>\n\n\n\nplay_circle_outline<\/i>\n\n\n\n

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