{"id":595,"date":"2020-09-26T19:51:12","date_gmt":"2020-09-26T23:51:12","guid":{"rendered":"http:\/\/fiziko.net\/?page_id=595"},"modified":"2020-10-19T18:14:23","modified_gmt":"2020-10-19T22:14:23","slug":"momento-linear-e-centro-de-massa","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/fiziko.net\/?page_id=595","title":{"rendered":"Momento Linear e Centro de Massa"},"content":{"rendered":"\n

O famoso jogo de petecas, que \u00e9 jogado com diversos participantes, cada um com um conjunto de esferas de vidro ou de a\u00e7o, \u201cas bolinhas\u201d, travam uma batalha para \u201czerar\u201d os advers\u00e1rios, conquistando cada uma de suas bolinhas, atrav\u00e9s das diversas modalidades do jogo, tais como, o turiti, a honda, ou o mata-mata.<\/p>\n\n\n\n

O que esse jogo infantil tem a ver com um dos princ\u00edpios de conserva\u00e7\u00e3o mais importante da F\u00edsica? Em uma das modalidades o jogador deve fazer sua bolinha colidir com, pelo menos, duas outras, para vencer a jogada, ou lan\u00e7ar sua bolinha no c\u00edrculo, onde as bolinhas da rodada s\u00e3o \u201ccasadas\u201d, postas para que o jogador possa retir\u00e1-las com seu lance. Por que as bolinhas s\u00e3o removidas da honda, ou por que ap\u00f3s colidir com a primeira, ainda possui movimento para atingir a pr\u00f3xima, percorrendo at\u00e9 uma dire\u00e7\u00e3o diferente da dire\u00e7\u00e3o do lan\u00e7amento inicial?             <\/p>\n\n\n\n

O conceito de momento linear<\/em><\/strong> ou quantidade de movimento<\/em><\/strong> explicar\u00e1 o por qu\u00ea, quando analisarmos o comportamento dessas part\u00edculas circunscritas, que entram em colis\u00e3o umas com as outras, ap\u00f3s de lan\u00e7amento da \u201cponteira\u201d, bolinha que o jogador usa para fazer as jogadas. Qualquer curumim, conhece intuitivamente, o que ocorre com as bolinhas durante a colis\u00e3o, sabem, inclusive, como lan\u00e7a-la para que a mesma, atingindo as demais, possa torna-lo o vencedor.<\/p>\n\n\n\n

Momento Linear de uma Part\u00edcula e sua Conserva\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Newton definiu o momento linear de um corpo com massa m<\/em> que se movimenta com uma velocidade , hoje utilizamos a forma vetorial descrita a seguir:<\/p>\n\n\n\n

\\vec{p}=m \\vec{v}<\/div>\n\n\n\n

A segunda lei de Newton pode ser escrita na forma da taxa de varia\u00e7\u00e3o temporal do momento linear<\/p>\n\n\n\n

\\frac{d \\vec{p}}{dt}=\\vec{F}_{R}<\/div>\n\n\n\n

onde \u00e9 a for\u00e7a resultante que atua sobre a part\u00edcula de massa m<\/em>, assumindo a mesma orienta\u00e7\u00e3o da taxa de varia\u00e7\u00e3o temporal do momento linear.<\/p>\n\n\n\n

Consideremos duas bolinhas do jogo de petecas, podemos escrever a equa\u00e7\u00e3o de movimento para cada uma das bolinhas e, levemos em conta que elas est\u00e3o na imin\u00eancia da colis\u00e3o. Durante a colis\u00e3o as for\u00e7as que podem atuar sobre as bolinhas s\u00e3o as for\u00e7as de contato da colis\u00e3o e , devido a terceira lei de Newton e, as for\u00e7as externas resultantes que atuam sobre cada uma das bolinhas do problema s\u00e3o e , onde os \u00edndices 1 e 2, representam as part\u00edculas envolvidas na colis\u00e3o, teremos<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\n\\frac{d\\vec{p}_{1}}{dt}=\\vec{F}_{12}+\\vec{F}_{1}^{ext} \\\\\n\\frac{d\\vec{p}_{2}}{dt}=\\vec{F}_{21}+\\vec{F}_{2}^{ext}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

como podemos perceber e , s\u00e3o os momentos lineares das part\u00edculas 1 e 2, respectivamente. Se considerarmos que apenas estas duas bolinhas colidem podemos determinar o momento linear total do sistema, o que nos d\u00e1<\/p>\n\n\n\n

\\frac{d\\vec{P}}{dt}=\\frac{d\\vec{p}_{1}}{dt}+\\frac{d\\vec{p}_{2}}{dt}<\/div>\n\n\n\n

a taxa de varia\u00e7\u00e3o temporal do momento linear total do sistema \u00e9 a soma vetorial das taxas de varia\u00e7\u00e3o temporal dos momentos de cada part\u00edcula, temos<\/p>\n\n\n\n

\\frac{d\\vec{P}}{dt}=\\frac{d}{dt}(\\vec{p}_{1}+\\vec{p}_{2})=\\vec{F}_{12}+\\vec{F}_{1}^{ext}+\\vec{F}_{21}+\\vec{F}_{2}^{ext}<\/div>\n\n\n\n

como estamos considerando for\u00e7as internas newtonianas, , e considerando a for\u00e7a externa total do sistema como sendo a soma das for\u00e7as externas que atuam em cada part\u00edcula , podemos concluir que a condi\u00e7\u00e3o necess\u00e1ria e suficiente para que o momento linear seja conservado, para este problema de duas part\u00edculas, \u00e9 que a for\u00e7a externa total do sistema deve ser nula<\/em>, o que nos leva a crer que as for\u00e7as externas resultantes que atuam sobre cada part\u00edcula s\u00e3o nulas ou possuem o mesmo m\u00f3dulo, a mesma dire\u00e7\u00e3o e sentidos opostos, logo<\/p>\n\n\n\n

\\frac{d\\vec{P}}{dt}=\\vec{F}^{ext}<\/div>\n\n\n\n

Centro de Massa de um Sistema de Part\u00edculas<\/strong><\/p>\n\n\n\n

A equa\u00e7\u00e3o anterior sugere que podemos descrever o movimento das duas part\u00edculas se movendo, como se fosse o problema de uma part\u00edcula de momento linear sobre a a\u00e7\u00e3o de for\u00e7as externas .<\/p>\n\n\n\n

Dessa maneira podemos escrever<\/p>\n\n\n\n

\\frac{d\\vec{P}}{dt}=\\frac{d}{dt}(\\vec{p}_{1}+\\vec{p}_{2})=\\vec{F}^{ext}<\/div>\n\n\n\n

Se considerarmos que \u00e9 poss\u00edvel expressar o movimento destas duas part\u00edculas por um ponto que represente toda a massa do sistema, onde<\/p>\n\n\n\n

M=m_{1}+m_{2}<\/div>\n\n\n\n

e a velocidade deste ponto, chamada Vetor<\/em> Velocidade do Centro de Massa<\/em> \u00e9 definida como<\/p>\n\n\n\n

\\vec{v}_{CM}=\\frac{m_{1}\\vec{v}_{1}+m_{2}\\vec{v}_{2}}{m_{1}+m_{2}}<\/div>\n\n\n\n

logo,<\/p>\n\n\n\n

\\vec{F}^{ext}=(m_{1}+m_{2})\\frac{d\\vec{v}_{CM}}{dt}<\/div>\n\n\n\n

Pode-se definir a posi\u00e7\u00e3o do centro de massa<\/em> por maio da express\u00e3o<\/p>\n\n\n\n

\\vec{v}_{CM}=\\frac{d\\vec{r}_{CM}}{dt}=\\frac{m_{1}\\frac{d\\vec{r}_{1}}{dt}+m_{2}\\frac{d\\vec{r}_{2}}{dt}}{m_{1}+m_{2}}<\/div>\n\n\n\n

Assim, como as massas s\u00e3o constantes<\/p>\n\n\n\n

\\frac{d}{dt}\\vec{r}_{CM}=\\frac{d}{dt}\\left( \\frac{m_{1}\\vec{r}_{1}+m_{2}\\vec{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\right)<\/div>\n\n\n\n

portanto, por identidade, a Vetor Posi\u00e7\u00e3o do Centro de Massa<\/em> \u00e9<\/p>\n\n\n\n

\\vec{r}_{CM}=\\frac{m_{1}\\vec{r}_{1}+m_{2}\\vec{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}}<\/div>\n\n\n\n

o vetor posi\u00e7\u00e3o do centro de massa escrito em termos de suas componentes, com vetores de base can\u00f4nicos \u00e9 , com<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\nx_{CM}=\\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\\\\ny_{CM}=\\frac{m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\\\\nz_{CM}=\\frac{m_{1}z_{1}+m_{2}z_{2}}{m_{1}+m_{2}}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

A equa\u00e7\u00e3o acima vale para um sistema com duas part\u00edculas.<\/p>\n\n\n\n

Analisemos um pouco mais as caracter\u00edsticas do centro de massa, para isso consideremos a figura, onde \u00e9 o vetor posi\u00e7\u00e3o do centro de massa, \u00e9 o vetor posi\u00e7\u00e3o da part\u00edcula 1, \u00e9 o vetor posi\u00e7\u00e3o da part\u00edcula 2, todos em rela\u00e7\u00e3o ao referencial inercial em repouso O, entretanto, os vetores e , que s\u00e3o os vetores que localizam as part\u00edculas 1 e 2, respectivamente, s\u00e3o escritos em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 posi\u00e7\u00e3o do centro de massa do sistema.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Centro de massa de um conjunto com duas part\u00edculas com a indica\u00e7\u00e3o de seus respectivos vetores posi\u00e7\u00e3o.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Vemos que a rela\u00e7\u00e3o entre os vetores \u00e9 dada por<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\n\\vec{r}_{1}=\\vec{r’}_{1}+\\vec{r}_{CM}\\\\\n\\vec{r}_{2}=\\vec{r’}_{2}+\\vec{r}_{CM}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

Substituindo a equa\u00e7\u00e3o do vetor posi\u00e7\u00e3o do centro de massa, obtemos<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\n\\vec{r}_{1}=\\vec{r’}_{1}+\\frac{m_{1}\\vec{r}_{1}+m_{2}\\vec{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\\\\n\\vec{r}_{2}=\\vec{r’}_{2}+\\frac{m_{1}\\vec{r}_{1}+m_{2}\\vec{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

com um pouco de \u00e1lgebra, escrevemos<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\n\\vec{r’}_{1}=\\frac{m_{1}\\vec{r}_{1}+m_{2}\\vec{r}_{1}}{m_{1}+m_{2}} -\\frac{m_{1}\\vec{r}_{1}+m_{2}\\vec{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\\\\n\\vec{r’}_{2}=\\frac{m_{1}\\vec{r}_{2}+m_{2}\\vec{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}} -\\frac{m_{1}\\vec{r}_{1}+m_{2}\\vec{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

obtemos, ap\u00f3s simplifica\u00e7\u00f5es<\/p>\n\n\n\n

\\frac{\\vec{r’}_{1}}{\\vec{r’}_{2}}=\\frac{m_{2}(\\vec{r}_{1}-\\vec{r}_{2})}{-m_{1}(\\vec{r}_{1}-\\vec{r}_{2})}<\/div>\n\n\n\n

o que d\u00e1<\/p>\n\n\n\n

\\frac{\\vec{r’}_{1}}{\\vec{r’}_{2}}=-\\frac{m_{2}}{m_{1}}<\/div>\n\n\n\n

este resultado indica que e s\u00e3o vetores com sentidos opostos, ou seja, s\u00e3o antiparalelos e, o centro de massa \u00e9 um ponto do segmento de reta formado pelos pontos que localizam m<\/em>1<\/sub> e m<\/em>2<\/sub>.<\/p>\n\n\n\n

No caso particular, onde as massas s\u00e3o iguais, o centro de massa ser\u00e1 encontrado no ponto m\u00e9dio do segmento de reta que une as part\u00edculas. <\/p>\n\n\n\n

Outro ponto importante associado a equa\u00e7\u00e3o acima \u00e9 o fato de que o momento linear total do sistema em rela\u00e7\u00e3o ao centro de massa \u00e9 nulo, significando que o momento linear total do sistema se concentra no movimento do centro de massa.<\/p>\n\n\n\n

Consideremos um sistema sendo formado por N<\/em> part\u00edculas, cujas massas s\u00e3o m1<\/sub>, m2<\/sub>, m3<\/sub>,…, mN<\/sub><\/em>, com vetores posi\u00e7\u00e3o num dado instante t<\/em>, dados por , respectivamente. Qualquer part\u00edcula do sistema est\u00e1 sujeita a for\u00e7as internas e for\u00e7as externas, podemos ent\u00e3o, dizer que a part\u00edcula i-\u00e9sima<\/em> est\u00e1 sujeita as for\u00e7as internas  e for\u00e7as externa , portanto, , pois apenas for\u00e7as internas newtonianas s\u00e3o consideradas e com (i,j = 1,2,3,…,N<\/em>).<\/p>\n\n\n\n

As equa\u00e7\u00f5es de movimento do sistema de part\u00edculas podem ser escritas na seguinte forma abreviada,<\/p>\n\n\n\n

\\sum_{i=1}^{N}m_{i}\\frac{d^2\\vec{r}_{i}}{dt^2}=\\frac{d^2}{dt^2}\\sum_{i=1}^{N}m_{i} \\vec{r}_{i}=\\sum_{i=1}^{N} \\sum_{j=1}^{N}\\underbrace{\\vec{F}_{ij}}_{i \\not = j} + \\sum_{i=1}^{N}\\vec{F}_{i}^{ext}<\/div>\n\n\n\n

a soma dupla sobre as for\u00e7as internas newtonianas \u00e9 nula, a restri\u00e7\u00e3o  \u00e9 importante para que n\u00e3o somemos duas vezes a mesma intera\u00e7\u00e3o dos pares a\u00e7\u00e3o-rea\u00e7\u00e3o, restando a equa\u00e7\u00e3o<\/p>\n\n\n\n

\\sum_{i=1}^{N}\\frac{d\\vec{p}_{i}}{dt}=\\sum_{i=1}^{N} \\vec{F}_{i}^{ext} = \\sum_{i=1}^{N} m_{i}\\vec{a}_{i}<\/div>\n\n\n\n

o momento linear total o sistema ser\u00e1 conservado se a soma das for\u00e7as externa for nula, teremos<\/p>\n\n\n\n

\\vec{v}_{CM}=\\frac{m_{1}\\vec{v}_{1}+m_{2}\\vec{v}_{2}+\\dots+m_{N}\\vec{v}_{N}}{m_{1}+m_{2}+\\dots+m_{N}}<\/div>\n\n\n\n

que \u00e9 o vetor velocidade do centro de massa<\/em><\/strong> de sistema de N<\/em> part\u00edculas e,<\/p>\n\n\n\n

\\vec{r}_{CM}=\\frac{m_{1}\\vec{r}_{1}+m_{2}\\vec{r}_{2}+\\dots+m_{N}\\vec{r}_{N}}{m_{1}+m_{2}+\\dots+m_{N}}<\/div>\n\n\n\n

o vetor posi\u00e7\u00e3o do centro de massa<\/em><\/strong> de sistema de N<\/em> part\u00edculas.<\/p>\n\n\n\n

Imaginemos um corpo de massa M<\/em>, com distribui\u00e7\u00e3o cont\u00ednua de mat\u00e9ria, e consideremos que a massa total deste corpo ocupa um volume total \u0394V, de forma que este corpo pode ser decomposto em um n\u00famero finito de por\u00e7\u00f5es de massa \u0394mi<\/sub><\/em>, que ocupam um volume \u0394V<\/em>i<\/sub>, de forma que tenhamos  e que . Tomando-se um \u0394V<\/em>i<\/sub> suficientemente pequeno, podemos dizer que a massa \u0394mi<\/sub><\/em> \u00e9 uma esp\u00e9cie de \u201cpart\u00edcula puntiforme\u201d que forma o corpo de massa M<\/em>, localizada pelo vetor posi\u00e7\u00e3o , assim o centro de massa deste corpo pode ser determinado pela express\u00e3o<\/p>\n\n\n\n

\\vec{r}_{CM}=\\frac{\\displaystyle\\sum_{i=1}^{N}\\Delta m_{i}\\vec{r}_{i}}{\\displaystyle\\sum_{i=1}^{N}\\Delta m_{i}}<\/div>\n\n\n\n

onde  \u00e9 o vetor posi\u00e7\u00e3o do centro de massa<\/em> do corpo de massa M<\/em>, no entanto, se tomarmos o limite das somas com , teremos<\/p>\n\n\n\n

\\vec{r}_{CM}=\\frac{\\int{\\vec{r}_{i}dm}}{\\int{dm}}= \\frac{1}{M}\\int{\\vec{r}_{i}dm}<\/div>\n\n\n\n

com o denomidador da fra\u00e7\u00e3o igual a massa total do corpo M<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Podemos utilizar o conceito de densidade volum\u00e9trica de massa<\/em><\/strong> , fazendo \u0394Vi<\/sub><\/em>  um pequeno volume em torno do ponto  e \u0394mi<\/sub><\/em> a massa correspondente, logo<\/p>\n\n\n\n

\\rho (\\vec{r})=\\lim_{\\Delta V_{i}\\rightarrow 0} \\left( \\frac{\\Delta m_{i}}{\\Delta V_{i}} \\right) = \\frac{dm}{dV}<\/div>\n\n\n\n

teremos ainda, a densidade superficial de massa<\/em><\/strong>, tal que<\/p>\n\n\n\n

\\sigma (\\vec{r})=\\lim_{\\Delta S_{i}\\rightarrow 0} \\left( \\frac{\\Delta m_{i}}{\\Delta S_{i}} \\right) = \\frac{dm}{dS}<\/div>\n\n\n\n

onde \u0394Si<\/sub><\/em> \u00e9 uma pequena \u00e1rea em torno do ponto  e \u0394mi<\/sub><\/em> a massa correspondente e, a densidade linear de massa<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n

\\lambda (\\vec{r})=\\lim_{\\Delta l_{i} \\rightarrow 0} \\left( \\frac{\\Delta m_{i}}{\\Delta l_{i}} \\right)=\\frac{dm}{dl}<\/div>\n\n\n\n

onde \u0394li<\/sub><\/em> \u00e9 um pequeno comprimento em torno do ponto  e \u0394mi<\/sub><\/em> a massa correspondente.<\/p>\n\n\n\n

Impulso de uma For\u00e7a e Momento Linear<\/strong><\/p>\n\n\n\n

As for\u00e7as de contato, ou for\u00e7as impulsivas, atuam durante um curto intervalo de tempo e seu m\u00e1ximo tem um elevado m\u00f3dulo. A colis\u00e3o entre o p\u00e9 de um jogador de futebol e uma bola, s\u00e3o exemplos desta for\u00e7a. Sabe-se que h\u00e1 outras for\u00e7as atuando sobre a bola de futebol, como a gravidade e a resist\u00eancia do ar, no entanto, durante a colis\u00e3o, a for\u00e7a impulsiva \u00e9 muito maior que as demais, de forma que podemos desprezar as influ\u00eancias destas \u00faltimas.<\/p>\n\n\n\n

Definiremos colis\u00e3o<\/em><\/strong> como sendo um evento de curta dura\u00e7\u00e3o entre dois corpos, originado por for\u00e7as impulsivas, que alteram seus movimentos, promovendo, ou n\u00e3o, trocar energia e momento linear, e que n\u00e3o necessariamente h\u00e1 contato entre os corpos interagentes.<\/p>\n\n\n\n

Durante o intervalo , em que a for\u00e7a impulsiva  atua, esta for\u00e7a \u00e9 a dominante, como no exemplo do jogador de futebol chutando a bola. Dizemos, ent\u00e3o, que a for\u00e7a  \u00e9 a for\u00e7a resultante, e pela segunda lei de Newton, temos<\/p>\n\n\n\n

\\sum_{k}\\vec{F}_{k}=\\vec{F}=\\frac{d\\vec{p}}{dt}<\/div>\n\n\n\n

onde  \u00e9 o vetor momento linear da part\u00edcula de massa m<\/em>, que pode ser a bola do exemplo, considerando-a uma part\u00edcula puntiforme.   <\/p>\n\n\n\n

Integrando ambos os lados da equa\u00e7\u00e3o , teremos<\/p>\n\n\n\n

\\int_{\\vec{p}_{i}}^{\\vec{p}_{f}}d\\vec{p} = \\int_{t_{i}}^{t_{f}}\\vec{F}dt<\/div>\n\n\n\n

chamaremos de impulso<\/em><\/strong>   a integral da for\u00e7a impulsiva aplicada a uma part\u00edcula durante o intervalo de tempo . Como podemos ver, o impulso de uma for\u00e7a \u00e9 igual a varia\u00e7\u00e3o do momento linear da part\u00edcula<\/p>\n\n\n\n

\\vec{J}=\\Delta \\vec{p}<\/div>\n\n\n\n

este resultado \u00e9 conhecido como o teorema do impulso e varia\u00e7\u00e3o do momento linear<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Se conhecermos a forma como a for\u00e7a impulsiva  varia, podemos calcular o impulso integrando-a no intervalo de tempo , que \u00e9 o mesmo que calcular a \u00e1rea entre a curva e o eixo do tempo t<\/em>, devemos aqui entender que como a for\u00e7a impulsiva \u00e9 um vetor, preciso \u00e9 calcular o impulso para cada componente da for\u00e7a impulsiva. Em muitas situa\u00e7\u00f5es n\u00e3o sabemos como a for\u00e7a impulsiva varia, podemos utilizar o valor m\u00e9dio da for\u00e7a impulsiva, que \u00e9 dada por<\/p>\n\n\n\n

\\vec{F}_{med}=\\frac{1}{\\Delta t} \\int_{t_{i}}^{t_{f}}\\vec{F}dt=\\frac{\\vec{J}}{\\Delta t} = \\frac{\\Delta \\vec{p}}{\\Delta t}<\/div>\n\n\n\n

Se analisarmos o outro corpo envolvido na colis\u00e3o, verificamos que o impulso tem o mesmo m\u00f3dulo, a mesma dire\u00e7\u00e3o e sentido oposto. Significa que o impulso experimentado pelo p\u00e9 do jogador tem sentido oposto ao da experimentado pela bola.<\/p>\n\n\n\n

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