{"id":646,"date":"2020-10-14T10:32:44","date_gmt":"2020-10-14T14:32:44","guid":{"rendered":"http:\/\/fiziko.net\/?page_id=646"},"modified":"2020-10-19T18:15:38","modified_gmt":"2020-10-19T22:15:38","slug":"colisoes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/fiziko.net\/?page_id=646","title":{"rendered":"Colis\u00f5es"},"content":{"rendered":"\n

Imaginemos o jogo de peteca, bolinha de gude, que utilizamos no in\u00edcio deste cap\u00edtulo, consideremos que duas bolinhas colidam, podemos perguntar; o que acontece com as bolinhas ap\u00f3s a colis\u00e3o? Podemos ainda, fazer um estudo sobre a energia do sistema, e considerar casos particulares da colis\u00e3o para saber se podemos comparar com os casos reais.<\/p>\n\n\n\n

Entretanto, precisamos considerar alguns aspectos, sabemos, pela equa\u00e7\u00e3o da velocidade do centro de massa de um sistema de part\u00edculas, que o momento linear do sistema de part\u00edculas, com massa total M<\/em> = m1<\/sub> + m2<\/sub> + … + mN<\/sub>, \u00e9 igual ao momento linear do centro de massa do sistema<\/p>\n\n\n\n

\\vec{v}_{CM}=\\frac{\\displaystyle\\sum_{i=1}^{N}m_{i}\\vec{v}_{i}}{\\displaystyle\\sum_{i=1}^{N}m_{i}} \\Rightarrow \\vec{p}_{CM}=M\\vec{v}_{CM}<\/div>\n\n\n\n

Derivando-se a equa\u00e7\u00e3o acima<\/p>\n\n\n\n

M\\frac{d\\vec{v}_{CM}}{dt}=\\frac{d\\vec{p}_{CM}}{dt}=\\sum_{i=1}^{N}\\vec{F}_{ext,i}=M\\vec{a}_{CM}<\/div>\n\n\n\n

esta \u00e9 a segunda lei de Newton para um sistema de part\u00edculas, que tamb\u00e9m \u00e9 v\u00e1lida para um corpo r\u00edgido, como discutiremos mais adiante.<\/p>\n\n\n\n

Tomando a colis\u00e3o entre as duas bolinhas de gude, sabemos que as for\u00e7as externas que atuam sobre as bolinhas s\u00e3o muito menores que a for\u00e7a impulsiva que age durante a colis\u00e3o, de maneira que podemos desprezar a a\u00e7\u00e3o destas for\u00e7as externas durante a colis\u00e3o e, temos que o momento linear do sistema \u00e9 constante no tempo, ou seja, o momento linear total do sistema deve ser conservado<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\n\\displaystyle\\sum_{i=1}^{N}\\vec{F}_{ext}=0\\\\\n\\vec{p}_{total,f}=\\vec{p}_{total,i}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

apesar deste resultado valer sempre que a soma vetorial das for\u00e7as externas se anularem, isso n\u00e3o basta para diferenciarmos os tipos de colis\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

Para as bolinhas de gude, uma parte da energia \u00e9 transformada em vibra\u00e7\u00f5es e calor, no entanto, esse percentual \u00e9 muito pequeno comparado \u00e0 energia total do sistema, e durante a colis\u00e3o, as bolinhas sofrem uma pequena deforma\u00e7\u00e3o, semelhante ao que ocorre com uma mola, acumulando energia e, em seguida, liberando em forma de energia cin\u00e9tica. Como a energia de um sistema f\u00edsica \u00e9 sempre conservada, podemos distinguir os tipos de colis\u00f5es por meio do valor da energia cin\u00e9tica das part\u00edculas em colis\u00e3o, assim, quando a energia cin\u00e9tica inicial total Ktotal,<\/sub><\/em>i<\/em><\/sub>, for igual \u00e0 energia cin\u00e9tica final total Ktotal,f<\/sub><\/em>, diremos que a colis\u00e3o \u00e9 el\u00e1stica<\/em><\/strong>  (Ktotal,f<\/sub><\/em> = Ktotal,i<\/sub><\/em>), caso contr\u00e1rio, teremos uma colis\u00e3o inel\u00e1stica<\/em><\/strong>  (Ktotal,f<\/sub><\/em> Ktotal,i<\/sub><\/em>).<\/p>\n\n\n\n

Dizemos que a colis\u00e3o el\u00e1stica \u00e9 o caso ideal, pois s\u00f3 verificamos esta colis\u00e3o em escala at\u00f4mica, mas podemos considerar que este resultado vale para alguns casos do cotidiano, como uma boa aproxima\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

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Colis\u00e3o el\u00e1stica entre duas part\u00edculas, indicando as velocidades iniciais e finais, com as for\u00e7as internas newtonianas da colis\u00e3o.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Consideremos o caso unidimensional, onde duas part\u00edculas com massas m<\/em>1<\/sub> e m<\/em>2<\/sub>, movendo-se com velocidade   e , respectivamente, como na figura acima. Ap\u00f3s a colis\u00e3o, as part\u00edculas assumem as velocidades finais  e . Se considerarmos que houve uma colis\u00e3o el\u00e1stica<\/em><\/strong>, temos<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\n\\vec{p}_{total,f} = \\vec{p}_{total,i}\\\\\nK_{total,f} = K_{total,i}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

logo,<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\nm_{1}v_{1x,f} \\hat{i} + m_{2}v_{2x,f} \\hat{i} = m_{1}v_{1x,i} \\hat{i} + m_{2}v_{2x,i} \\hat{i}\\\\\n\\frac{1}{2}m_{1}v_{1x,f}^{2} + \\frac{1}{2}m_{2}v_{2x,f}^{2} = \\frac{1}{2}m_{1}v_{1x,i}^{2} + \\frac{1}{2}m_{2}v_{2x,i}^{2}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

reescrevendo.<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\nm_{1}(v_{1x,f} – v_{1x,i}) = m_{2}(v_{2x,f} – v_{2x,i} )\\\\\nm_{1}(v_{1x,f}^{2} – v_{1x,i}^{2}) = m_{2}(v_{2x,f}^{2} – v_{2x,i}^{2})\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

usando o resultado do produto da soma pela diferen\u00e7a<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\nm_{1}(v_{1x,f} – v_{1x,i}) = m_{2}(v_{2x,f} – v_{2x,i} )\\\\\nm_{1}(v_{1x,f} + v_{1x,i})(v_{1x,f} – v_{1x,i}) = m_{2}(v_{2x,f} + v_{2x,i})(v_{2x,f} – v_{2x,i})\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

combinando-as, temos<\/p>\n\n\n\n

v_{1x,f} + v_{1x,i} = v_{2x,f} + v_{2x,i}<\/div>\n\n\n\n

Esta equa\u00e7\u00e3o \u00e9 uma importante caracter\u00edstica da colis\u00e3o el\u00e1stica unidimensional, com este resultado podemos verificar que a velocidade relativa entre as duas part\u00edculas se inverte em consequ\u00eancia da colis\u00e3o. Podemos resolver o sistema<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\nm_{1}v_{1x,f} + m_{2}v_{2x,f} = m_{1}v_{1x,i} + m_{2}v_{2x,i} \\\\\nv_{1x,f} + v_{1x,i} = v_{2x,f} + v_{2x,i}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

Ap\u00f3s alguns c\u00e1lculos, obtemos<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\nv_{1x,f}=\\left( \\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\right)v_{1x,i} + \\left( \\frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\right)v_{2x,i}\\\\\nv_{2x,f}=\\left( \\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \\right)v_{1x,i} + \\left( \\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \\right)v_{2x,i}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

Casos Particulares<\/strong><\/p>\n\n\n\n

(I) Consideremos que as massas s\u00e3o iguais, m1<\/sub> = m2<\/sub> = m<\/em>,<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\nv_{1x,f}=v_{2x,i}\\\\\nv_{2x,f}=v_{1x,i}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

as part\u00edculas trocam suas velocidades e momentos lineares.<\/p>\n\n\n\n

(II) Consideremos o alvo (m<\/em>2<\/sub>) em repouso (v2x,i<\/sub> = 0<\/em>),<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\nv_{1x,f}=\\left( \\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\right)v_{1x,i} \\\\\nv_{2x,f}=\\left( \\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \\right)v_{1x,i} \n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

podemos verificar que a part\u00edcula m<\/em>1<\/sub> s\u00f3 modificar\u00e1 o sentido do movimento quando a massa m<\/em>2<\/sub> for maior. Se tivermos, para este caso, m<\/em>1 <\/sub>= m<\/em>2<\/sub>, vemos que a part\u00edcula m<\/em>1<\/sub>, ap\u00f3s a colis\u00e3o, ficar\u00e1 parada e a part\u00edcula m<\/em>2<\/sub> se movimentar\u00e1 com a velocidade inicial de m<\/em>1<\/sub>. Tomemos m<\/em>2 <\/sub><< m<\/em>1<\/sub>, m2<\/sub><\/em> muito menor que m<\/em>1<\/sub>, ent\u00e3o v1x,f<\/sub><\/em> \u2248 v1x,i<\/sub><\/em> e v2x,f<\/sub><\/em> \u2248 2v1x,i<\/sub><\/em>, entretanto se m<\/em>2 <\/sub>>> m<\/em>1<\/sub>, m2<\/sub><\/em> muito maior que m<\/em>1<\/sub>, ent\u00e3o v1x,f<\/sub><\/em> \u2248 –v1x,i<\/sub><\/em> e v2x,f<\/sub><\/em> \u2248 0<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Colis\u00e3o Completamente Inel\u00e1stica Unidimensional<\/strong><\/p>\n\n\n\n

A colis\u00e3o completamente inel\u00e1stica tem como caracter\u00edstica assumir o menor valor da energia cin\u00e9tica associada ao centro de massa. O centro de massa deve permanecer com um movimento retil\u00edneo uniforme, assim o valor m\u00ednimo da energia cin\u00e9tica \u00e9 o correspondente ao do centro de massa, levando-nos a observar que n\u00e3o deve haver movimentos internos relativos ao centro de massa ap\u00f3s a colis\u00e3o, logo, as part\u00edculas devem se movimentar juntas, coincidindo com o movimento do centro de massa e, como o momento linear total do sistema \u00e9 conservado temos<\/p>\n\n\n\n

v_{x,f}=\\frac{m_{1}v_{1x,i} + m_{2}v_{2x,i}}{m_{1} + m_{2}}=v_{CM}<\/div>\n\n\n\n

considerando que a part\u00edcula alvo esteja em movimento, conforme a situa\u00e7\u00e3o da figura<\/p>\n\n\n\n

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Colis\u00e3o completamente inel\u00e1stica entre duas part\u00edculas, indicando as velocidades iniciais e a velocidade final do centro de massa, com as for\u00e7as internas newtonianas da colis\u00e3o.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Podemos tratar as colis\u00f5es inel\u00e1sticas, chamadas tamb\u00e9m de colis\u00f5es pl\u00e1sticas, aplicando o teorema do impulso e momento linear de uma part\u00edcula, aplicado aos impulsos de deforma\u00e7\u00e3o e restitui\u00e7\u00e3o, pois durante a colis\u00e3o as part\u00edculas devem ser consideradas deform\u00e1veis e devem sofrer, por um curto per\u00edodo de tempo, a a\u00e7\u00e3o dessa deforma\u00e7\u00e3o, at\u00e9 que atinjam uma deforma\u00e7\u00e3o m\u00e1xima, de modo que exer\u00e7am uma sobre a outra um impulso de deforma\u00e7\u00e3o. Em seguida, ocorre um per\u00edodo de restitui\u00e7\u00e3o, no qual as part\u00edculas retornam \u00e0 sua forma original ou permanecem deformadas. O impulso de deforma\u00e7\u00e3o \u00e9 sempre maior que o impulso de restitui\u00e7\u00e3o. O caso particular das colis\u00f5es el\u00e1sticas se explica pelo fato dos impulsos de deforma\u00e7\u00e3o e restitui\u00e7\u00e3o serem iguais e de sentidos opostos, assim,<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\nJ_{D}=\\int \\vec{F}_{def}dt, \\text{ impulso de deforma\u00e7\u00e3o} \\\\\nJ_{R}=\\int \\vec{F}_{rest}dt, \\text{ impulso de restitui\u00e7\u00e3o}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

Aplicando o teorema do impulso e momento linear \u00e0s part\u00edculas, considerando que a velocidade das part\u00edculas em colis\u00e3o durante a deforma\u00e7\u00e3o m\u00e1xima igual a v<\/em>, e considerando o caso unidimensional, por motivos de simplifica\u00e7\u00e3o, temos para a part\u00edcula m<\/em>1<\/sub>,<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\nJ_{D} = m_{1}v + m_{1}v_{1x,i}\\\\\nJ_{R} = m_{1}v_{1x,f} – m_{1}v\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

e para m<\/em>2<\/sub>,<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\nJ_{D} = m_{2}v + m_{2}v_{2x,i}\\\\\nJ_{R} = m_{2}v_{2x,f} – m_{2}v\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

tomando a raz\u00e3o , como sendo o coeficiente de restitui\u00e7\u00e3o<\/em><\/strong> e<\/strong><\/em>, resulta<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\ne = \\frac{v-v_{1x,f}}{v_{1x,i}-v}\\\\\ne = \\frac{v_{2x,f}-v}{v-v_{2x,i}}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

combinando as equa\u00e7\u00f5es e eliminando v<\/em>, tem-se<\/p>\n\n\n\n

e=\\frac{v_{2x,f} – v_{1x,f}}{v_{1x,i} – v_{2x,i}}<\/div>\n\n\n\n

podemos resolver simultaneamente as equa\u00e7\u00f5es da conserva\u00e7\u00e3o do momento linear e do coeficiente de restitui\u00e7\u00e3o, o caso em que e = 1<\/strong><\/em> \u00e9 um caso particular em que j\u00e1 resolvemos acima, s\u00e3o as colis\u00f5es el\u00e1sticas. <\/p>\n\n\n\n

Sabe-se, por meio experimental, que o coeficiente de restitui\u00e7\u00e3o varia de forma apreci\u00e1vel com a velocidade de impacto, assim como com a forma e a dimens\u00e3o dos corpos em colis\u00e3o, desta forma, deve-se utiliz\u00e1-lo quando este nos fornece resultados bons comparados aos experimentais.<\/p>\n\n\n\n

O significado f\u00edsico do coeficiente de restitui\u00e7\u00e3o e<\/strong><\/em>, est\u00e1 no fato de que este quando assume os valores 0 e 1, representam os casos extremos da colis\u00e3o<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\ne = 1, \\text{ Colis\u00e3o El\u00e1stica}\\\\\ne = 0, \\text{ Colis\u00e3o Completamente Inel\u00e1stica}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

Colis\u00e3o Bidimensional<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Aplicaremos a teoria para o caso das colis\u00f5es bidimensionais, que ser\u00e3o abordadas de forma simplificada, pois a part\u00edcula alvo estar\u00e1 inicialmente em repouso. Nada impede que tenhamos colis\u00f5es el\u00e1stica e inel\u00e1sticas em sistemas de part\u00edculas em colis\u00f5es, basta aplicarmos a teoria j\u00e1 abordada. Consideramos a figura abaixo que apresenta a part\u00edcula m<\/em>1<\/sub>, com velocidade , colidindo com uma part\u00edcula alvo em repouso m2<\/sub><\/em>.<\/p>\n\n\n\n

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Colis\u00e3o bidimensional entre duas part\u00edculas com massa m1<\/sub> e m2<\/sub>.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

A part\u00edcula m<\/em>1<\/sub> quando colide com a part\u00edcula m2<\/sub><\/em>, em repouso, sofre um desvio \u03b81<\/sub> acima de sua dire\u00e7\u00e3o de movimento, enquanto que, m2<\/sub><\/em> sofre um desvio \u03b82<\/sub> abaixo da dire\u00e7\u00e3o do movimento inicial de m1<\/sub><\/em>. Para uma colis\u00e3o el\u00e1stica, como j\u00e1 vimos<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\n\\vec{p}_{total,f} = \\vec{p}_{total,i}\\\\\nK_{total,f} = K_{total,i}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

o que nos d\u00e1, considerando as duas dimens\u00f5es e que os vetores de base s\u00e3o , cancelando o fator 1\/2 da equa\u00e7\u00e3o da energia cin\u00e9tica<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\nm_{1}v_{1x,f}+m_{2}v_{2x,f}=m_{1}v_{1x,i}\\\\\nm_{1}v_{1y,f}-m_{2}v_{2y,f}=0\\\\\nm_{1}v_{1,f}^{2}+m_{2}v_{2,f}^{2}=m_{1}v_{1,i}^{2}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

pela conserva\u00e7\u00e3o do momento linear, podemos representar graficamente, a rela\u00e7\u00e3o dos vetores momento linear final e inicial das part\u00edculas m1<\/sub><\/em> e m2<\/sub><\/em>, como na figura a seguir<\/p>\n\n\n\n

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Rela\u00e7\u00e3o vetorial dos momentos lineares inicial e final das part\u00edculas.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

pela figura acima<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\nv_{1x,f}=v_{1,f} cos(\\theta_{1})\\\\\nv_{1y,f}=v_{1,f} sen(\\theta_{1})\\\\\nv_{2x,f}=v_{2,f} cos(\\theta_{2})\\\\\nv_{2y,f}=v_{2,f} sen(\\theta_{2})\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

Para o caso particular onde m1<\/sub><\/em> \u00e9 igual a m2<\/sub><\/em>, temos<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\nv_{1x,f}+v_{2x,f}=v_{1x,i}\\\\\nv_{1y,f}=v_{2y,f}\\\\\nv_{1,f}^{2}+v_{2,f}^{2}=v_{1,i}^{2}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

este resultado pode ser representado graficamente, tomando-se o comportamento dos vetores velocidades e observando que a equa\u00e7\u00e3o que relaciona as velocidades quadr\u00e1ticas s\u00e3o as escrita acima, verifica-se o comportamento t\u00edpico do teorema de Pit\u00e1goras, permitindo-nos concluir que a soma dos \u00e2ngulos de espalhamento das part\u00edculas obedece a rela\u00e7\u00e3o .<\/p>\n\n\n\n

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Gr\u00e1fico com a representa\u00e7\u00e3o vetorial das velocidades das part\u00edculas.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n
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