{"id":681,"date":"2020-10-22T10:31:54","date_gmt":"2020-10-22T14:31:54","guid":{"rendered":"http:\/\/fiziko.net\/?page_id=681"},"modified":"2020-10-22T10:31:55","modified_gmt":"2020-10-22T14:31:55","slug":"cinematica-de-rotacao","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/fiziko.net\/?page_id=681","title":{"rendered":"Cinem\u00e1tica de Rota\u00e7\u00e3o"},"content":{"rendered":"\n

O movimento de rota\u00e7\u00e3o tem um importante papel na Mec\u00e2nica, isto porque podemos identificar uma grande quantidade de aplica\u00e7\u00f5es envolvendo rota\u00e7\u00e3o de uma part\u00edcula, de um conjunto de part\u00edculas ou at\u00e9 mesmo de corpos r\u00edgidos, tais como, um menino brincando de bole-bole, um porteiro abrindo uma porta, engrenagens de m\u00e1quinas industriais, toda discos e players de CD e DVD, rodas de ve\u00edculos e, o movimento dos corpos celestes, s\u00f3 para listar alguns dos exemplos.<\/p>\n\n\n\n

ROTA\u00c7\u00c3O DE UMA PART\u00cdCULA<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Iniciaremos a an\u00e1lise do movimento de rota\u00e7\u00e3o de uma part\u00edcula de massa m,<\/em> movendo-se em uma trajet\u00f3ria circular com raio constante, definindo a grandeza posi\u00e7\u00e3o angular<\/em><\/strong> \u00a0da part\u00edcula, que \u00e9 o \u00e2ngulo formado entre o eixo x<\/em> positivo com o vetor posi\u00e7\u00e3o da part\u00edcula dado por<\/p>\n\n\n\n

\\vec{r}=x \\hat{i} + y \\hat{j}=rcos \\theta \\hat{i}+ rsen \\theta \\hat{j}<\/div>\n\n\n\n

O movimento de rota\u00e7\u00e3o \u00e9 caracterizado, entre outras coisas, pela mudan\u00e7a da posi\u00e7\u00e3o angular \u03b8<\/em>, visto que n\u00e3o h\u00e1 altera\u00e7\u00e3o do raio \u00a0da trajet\u00f3ria da part\u00edcula, tal altera\u00e7\u00e3o faz com que o vetor posi\u00e7\u00e3o da part\u00edcula tamb\u00e9m seja alterado, conforme passa o tempo. \u00c9 importante saber que um movimento circular, o mais simples poss\u00edvel, \u00e9 acelerado e que o m\u00f3dulo do vetor posi\u00e7\u00e3o da part\u00edcula \u00e9 igual ao raio da trajet\u00f3ria .<\/p>\n\n\n\n

Resultando da mudan\u00e7a de posi\u00e7\u00e3o angular da part\u00edcula, podemos definir a grandeza deslocamento angular<\/em><\/strong>, e dividindo-se pela varia\u00e7\u00e3o do tempo do deslocamento, nos leva a defini\u00e7\u00e3o de velocidade angular m\u00e9dia<\/em><\/strong>, dada por<\/p>\n\n\n\n

\\omega_{m}=\\frac{\\Delta\\theta}{\\Delta t}=\\frac{\\theta_{f}-\\theta_{i}}{t_{f}-t_{i}}<\/div>\n\n\n\n

Estudaremos dois movimentos circulares importantes, o primeiro cuja velocidade angular<\/strong> \u03c9\u00a0\u00e9 constante e o segundo cuja acelera\u00e7\u00e3o angular<\/em><\/strong> \u03b1\u00a0\u00e9 constante, o que equivale dizer, que a velocidade angular varia linearmente com o tempo, como veremos mais adiante.<\/p>\n\n\n\n

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME – MCU<\/strong><\/p>\n\n\n\n

O primeiro movimento \u00e9 chamado de Movimento Circular Uniforme (MCU), e podemos encontrar a primeira equa\u00e7\u00e3o utilizando-se o conceito de velocidade angular m\u00e9dia, e adotando as seguintes caracter\u00edsticas:<\/p>\n\n\n\n

(i) Faremos ti<\/sub> = 0<\/em> e tf<\/sub> = t<\/em>, onde t<\/em> \u00e9 um instante qualquer do movimento;<\/p>\n\n\n\n

(ii) Tomaremos \u03c9m<\/sub> = \u03c9 com \u03c9 constante;<\/p>\n\n\n\n

(iii) E a acelera\u00e7\u00e3o angular<\/strong><\/em> \u03b1 nula;<\/p>\n\n\n\n

Assim, podemos escrever a fun\u00e7\u00e3o hor\u00e1ria da posi\u00e7\u00e3o angular do MCU como sendo<\/p>\n\n\n\n

\\theta_{f}=\\theta_{i}+wt<\/div>\n\n\n\n

Analogamente, utilizando-se a velocidade instant\u00e2nea, podemos definir a velocidade angular instant\u00e2nea<\/em><\/strong> \u03c9<\/p>\n\n\n\n

\\begin{matrix}\n\\omega=\\displaystyle\\frac{d \\theta}{dt}\n\\\\\n\\displaystyle\\int_{\\theta{i}}^{\\theta_{f}}d\\theta=\\int_{0}^{t} \\omega dt = \\omega \\int_{0}^{t} dt \\\\\n\\theta_{f}=\\theta_{i}+\\omega t\n\\end{matrix}<\/div>\n\n\n\n

Fa\u00e7amos a an\u00e1lise do comportamento do vetor velocidade da part\u00edcula<\/strong>, que n\u00e3o \u00e9 uma grandeza constante, apesar de seu m\u00f3dulo permanecer constante no MCU. A figura nos mostra que a varia\u00e7\u00e3o do vetor velocidade, forma um tri\u00e2ngulo onde o \u00e2ngulo \u0394\u03b8\u00a0oposto ao vetor\u00a0\u00e9 formado pelos vetores velocidade final\u00a0e velocidade inicial e considerando-o \u00a0muito pequeno, podemos fazer que o tri\u00e2ngulo formado pelas velocidades pode ser aproximado ao arco da circunfer\u00eancia, dado por<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\n\\Delta s = r \\Delta \\theta \\\\\n\\Delta v = v \\Delta \\theta\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n
\"\"
Rela\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica do arco de uma circunfer\u00eancia de raio r com o arco formado pelos vetores velocidades, quando\u00a0\u00e9 muito pequeno. Na figura o \u00e2ngulo est\u00e1 exagerado.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

se dividirmos ambas as equa\u00e7\u00f5es pelo intervalo de tempo associado ao movimento, tem-se<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\n\\displaystyle\\frac{\\Delta s}{\\Delta t} = r \\frac{\\Delta \\theta}{\\Delta t} \\\\\n\\\\\n\\displaystyle\\frac{\\Delta v}{\\Delta t} = v \\frac{\\Delta \\theta}{\\Delta t}\n\\end{cases}\n<\/div>\n\n\n\n

e, portanto<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\nv = r \\omega\\\\\na_{c} =v\\omega\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

o que, por fim, combinando-se as equa\u00e7\u00f5es acima, nos leva a defini\u00e7\u00e3o de acelera\u00e7\u00e3o centr\u00edpeta<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n

a_{c}=\\frac{v^{2}}{r}<\/div>\n\n\n\n

Tomemos agora, o caso em que a velocidade de transla\u00e7\u00e3o da part\u00edcula muda com o tempo, isso ocorre por causa do surgimento de uma acelera\u00e7\u00e3o na dire\u00e7\u00e3o tangencial ao raio, que chamaremos de acelera\u00e7\u00e3o tangencial<\/em><\/strong> a<\/em>t<\/sub>.<\/p>\n\n\n\n

Inicialmente, consideraremos que a acelera\u00e7\u00e3o tangencial \u00e9 constante, o que nos permite dizer que, como a velocidade de transla\u00e7\u00e3o da part\u00edcula em movimento circular vai variar, a velocidade angular da part\u00edcula tamb\u00e9m ir\u00e1 variar, logo, para os instantes arbitr\u00e1rios t1<\/sub><\/em>\u00a0e t2<\/sub><\/em>, teremos as velocidades angulares associadas \u03c91<\/sub>\u00a0e \u03c92<\/sub>, desta forma podemos definir a acelera\u00e7\u00e3o angula<\/strong><\/em>r<\/em><\/strong> \u03b1 como sendo a grandeza que mede como a velocidade angular da part\u00edcula varia, assim<\/p>\n\n\n\n

\\alpha_{m}=\\frac{\\Delta \\omega}{\\Delta t}=\\frac{\\omega_{2}-\\omega_{1}}{t_{2}-t_{1}}<\/div>\n\n\n\n

A equa\u00e7\u00e3o acima define a acelera\u00e7\u00e3o angular m\u00e9dia<\/em><\/strong> \u03b1m<\/sub>, esta defini\u00e7\u00e3o carrega a mesma limita\u00e7\u00e3o que observamos nas outras grandezas definidas desta forma, se no intervalo de tempo \u0394t\u00a0a velocidade angular da part\u00edcula variar, mas voltar a ter o mesmo valor que possu\u00eda inicialmente, ent\u00e3o a acelera\u00e7\u00e3o angular ser\u00e1 nula. Definiremos a grandeza acelera\u00e7\u00e3o angular instant\u00e2nea<\/em><\/strong> \u03b1 como sendo,<\/p>\n\n\n\n

\\alpha=\\lim_{\\Delta t\\rightarrow 0}\\frac{\\Delta \\omega}{\\Delta t}=\\frac{d\\omega}{dt}<\/div>\n\n\n\n

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO – MCUV<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Podemos adotar as caracter\u00edsticas que definir\u00e3o o chamado Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV), como se segue<\/p>\n\n\n\n

(i) Faremos ti<\/sub> = 0<\/em> e tf<\/sub> = t<\/em>, onde t<\/em> \u00e9 um instante qualquer do movimento;<\/p>\n\n\n\n

(ii) Tomando-se \u03b1m<\/sub> = \u03b1 e fazendo \u03b1 contante;<\/p>\n\n\n\n

obtem-se<\/p>\n\n\n\n

\\alpha = \\frac{\\omega_{2}- \\omega_{1}}{t-0} \\implies \\omega_{2}=\\omega_{1}+\\alpha t<\/div>\n\n\n\n

a equa\u00e7\u00e3o acima \u00e9 conhecida como fun\u00e7\u00e3o hor\u00e1ria da velocidade angular para o MCUV. Podemos escrever que<\/p>\n\n\n\n

\\omega = \\frac{d\\theta}{dt}=\\omega_{i}+\\alpha t \\implies \\int_{\\theta_{i}}^{\\theta_{f}}d \\theta=\\int_{0}^{t}(\\omega_{i}+\\alpha t)dt<\/div>\n\n\n\n

logo,<\/p>\n\n\n\n

\\theta_{f}=\\theta_{i}+\\omega_{i}t+\\frac{1}{2}\\alpha t^{2}<\/div>\n\n\n\n

a equa\u00e7\u00e3o acima \u00e9 conhecida como fun\u00e7\u00e3o hor\u00e1ria da velocidade angular para o MCUV.<\/p>\n\n\n\n

Uma importante equa\u00e7\u00e3o do MCUV relaciona as velocidades angulares com o deslocamento angular e a acelera\u00e7\u00e3o angular, esta equa\u00e7\u00e3o \u00e9 semelhante \u00e0 equa\u00e7\u00e3o de Torricelli,<\/p>\n\n\n\n

\\omega_{f}^{2}=\\omega_{i}^{2}+2\\alpha \\Delta\\theta<\/div>\n\n\n\n

A acelera\u00e7\u00e3o tangencial \u00e9 determinada a partir da equa\u00e7\u00e3o que relaciona a velocidade tangencial com a velocidade angular, derivando-a em fun\u00e7\u00e3o do tempo, o que nos d\u00e1<\/p>\n\n\n\n

\\frac{dv}{dt}=r\\frac{d\\omega}{dt} \\implies a_{t}=r\\alpha<\/div>\n\n\n\n

O vetor acelera\u00e7\u00e3o para o MCUV \u00e9 definido como sendo,<\/p>\n\n\n\n

\\vec{a}=a_{t}\\hat{\\theta}-a_{c}\\hat{r}<\/div>\n\n\n\n

Onde os vetores unit\u00e1rios radial e tangential s\u00e3o, respectivamente<\/p>\n\n\n\n

\\begin{cases}\n\\hat{r}=cos \\theta \\hat{i}+ sen \\theta \\hat{j} \\\\\n\\hat{\\theta}= -sen \\theta \\hat{i} + cos \\theta \\hat{j}\n\\end{cases}<\/div>\n\n\n\n

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O movimento de rota\u00e7\u00e3o tem um importante papel na Mec\u00e2nica, isto porque podemos identificar uma grande quantidade de aplica\u00e7\u00f5es envolvendo rota\u00e7\u00e3o de uma part\u00edcula, de um conjunto de part\u00edculas ou at\u00e9 mesmo de corpos r\u00edgidos, tais como, um menino brincando de bole-bole, um porteiro abrindo uma porta, engrenagens de m\u00e1quinas industriais, toda discos e players…
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