{"id":688,"date":"2020-12-07T12:05:40","date_gmt":"2020-12-07T16:05:40","guid":{"rendered":"http:\/\/fiziko.net\/?page_id=688"},"modified":"2020-12-11T22:37:37","modified_gmt":"2020-12-12T02:37:37","slug":"dinamica-de-rotacao","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/fiziko.net\/?page_id=688","title":{"rendered":"Din\u00e2mica de Rota\u00e7\u00e3o"},"content":{"rendered":"\n

TORQUE<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Iniciaremos o estudo do torque considerando um corpo r\u00edgido qualquer como o mostrado na figura, que est\u00e1 rotacionando em torno de um eixo que passa por O<\/em> e seu centro de massa executa uma trajet\u00f3ria circular de raio R, devido a uma for\u00e7a F<\/strong>\u00a0aplicada no ponto P<\/em> cujo vetor r<\/strong>\u00a0determina sua posi\u00e7\u00e3o. Sabemos que uma for\u00e7a aplicada sobre um corpo que se desloca no espa\u00e7o faz com que este corpo mude seu estado, neste caso, entenderemos que nos referimos \u00e0s grandezas f\u00edsicas que caracterizam o movimento, posi\u00e7\u00e3o, velocidade e acelera\u00e7\u00e3o, cabe investigar o que pode alterar ou causar um movimento de rota\u00e7\u00e3o, tal \u00e9 o interesse de estudarmos a grandeza torque<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

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Corpo r\u00edgido qualquer girando em torno de um eixo que passa por O devido a uma for\u00e7a aplicada F<\/strong>.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Simplificando nossa an\u00e1lise, consideraremos uma part\u00edcula de massa m<\/em> se movimentando em uma trajet\u00f3ria circular de raio r<\/strong><\/em> sobre a a\u00e7\u00e3o de uma for\u00e7a aplicada F<\/strong>, que possui componentes radial e tangencial, \u00a0e ,\u00a0respectivamente.<\/p>\n\n\n\n

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Part\u00edcula de massa m<\/em> sobre a a\u00e7\u00e3o de uma for\u00e7a F<\/strong>.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Levando em considera\u00e7\u00e3o que o ponto O<\/em> n\u00e3o se mover\u00e1, a \u00fanica componente da for\u00e7a que contribui para o movimento de rota\u00e7\u00e3o \u00e9 a componente tangencial . Podemos afirmar que a componente perpendicular da for\u00e7a \u00e9 a respons\u00e1vel pela rota\u00e7\u00e3o da massa m,<\/em> em torno do eixo que passa por O<\/em>, no entanto, devemos considerar outro fator para entendermos o conceito de torque, que \u00e9 o valor de r<\/em>. Quando um marceneiro instala uma ma\u00e7aneta em uma porta, ele fixa a mesma num ponto afastado do eixo de rota\u00e7\u00e3o da porta, isso porque, quando abrirmos a porta, aplicaremos uma for\u00e7a menor do que seria aplicado se a ma\u00e7aneta fosse instalada pr\u00f3xima ao eixo de rota\u00e7\u00e3o, o mesmo fato se observa quando queremos desparafusar as rodas de um carro quando este tem um pneu furado, note que para executarmos uma for\u00e7a menor aplicamos a for\u00e7a no ponto mais afastado do eixo de rota\u00e7\u00e3o do parafuso, portanto, vemos claramente que h\u00e1 uma depend\u00eancia direta do torque com a dist\u00e2ncia de aplica\u00e7\u00e3o da for\u00e7a a partir do eixo de rota\u00e7\u00e3o, que no nosso caso \u00e9 representado pela grandeza r<\/em>, assim podemos definir o m\u00f3dulo do torque como sendo o produto da componente tangencial da for\u00e7a aplicada pela dist\u00e2ncia do eixo de rota\u00e7\u00e3o ao ponto de aplica\u00e7\u00e3o da for\u00e7a;<\/p>\n\n\n\n

\\tau = rF_{t} = r F sen \\theta<\/pre><\/div>\n\n\n\n
COMPORTAMENTO VETORIAL DO TORQUE<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Estudaremos o produto vetorial de forma a considerarmos o caso mais geral, levando-se em conta que todos os vetores s\u00e3o escritos como combina\u00e7\u00e3o linear dos vetores de base can\u00f4nicos , logo, temos que  e .<\/p>\n\n\n\n
Por defini\u00e7\u00e3o, temos que o m\u00f3dulo do produto vetorial \u00e9 determinado pelo produto dos m\u00f3dulos dos vetores envolvidos no produto, com o produto do seno do \u00e2ngulo formado pelos mesmos vetores, ou seja,<\/p>\n\n\n\n
\\left |\\vec C  \\right | = \\left |\\vec A \\times \\vec B  \\right | = ABsen \\theta<\/pre><\/div>\n\n\n\n
De modo geral, o produto vetorial \u00e9 determinado por<\/p>\n\n\n\n
\\begin{aligned}\n\\vec A \\times \\vec B & =  A_{x} \\hat i \\times B_{x} \\hat i + A_{x} \\hat i \\times B_{y} \\hat j + A_{x} \\hat i \\times B_{z} \\hat k + \\\\\n & + A_{y} \\hat j \\times B_{x} \\hat i + A_{y} \\hat j \\times B_{y} \\hat j + A_{y} \\hat j \\times B_{z} \\hat k + \\\\\n & + A_{z} \\hat k \\times B_{x} \\hat i + A_{z} \\hat k \\times B_{y} \\hat j + A_{z} \\hat k \\times B_{z} \\hat k\n\\end{aligned}\n<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Sabemos que o resultado do produto vetorial entre dois vetores tem como resultado um terceiro vetor perpendicular ao plano formado pelos vetores do produto, e que pela defini\u00e7\u00e3o de produto vetorial, se um vetor \u00e9 multiplicado por ele mesmo o resultado \u00e9 nulo, pois o \u00e2ngulo formado \u00e9 zero, dessa forma temos como resultado o seguinte,<\/p>\n\n\n\n
\\begin{cases}\n\\hat i \\times \\hat i = \\hat j \\times \\hat j = \\hat k \\times \\hat k = 0 \\\\\n\\hat i \\times \\hat j = \\hat k \\text{ e }\\hat j \\times \\hat i = - \\hat k \\\\\n\\hat j \\times \\hat k = \\hat i \\text{ e }\\hat k \\times \\hat j = - \\hat i \\\\\n\\hat k \\times \\hat i = \\hat j \\text{ e }\\hat i \\times \\hat k = - \\hat j \n\\end{cases}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Com estes resultados, podemos reduzir a equa\u00e7\u00e3o acima na forma<\/p>\n\n\n\n
\\begin{aligned}\n   \\vec A \\times \\vec B  & =A_{x}B_{y} \\hat k - A_{x}B_{z} \\hat j - A_{y}B_{x} \\hat k + A_{y}B_{z} \\hat i + A_{z}B_{x} \\hat j - A_{z}B_{y} \\hat i  \\\\\n      & = (A_{y}B_{z} - A_{z}B_{y})\\hat i + (A_{z}B_{x} -A_{x}B_{z}) \\hat j + (A_{x}B_{y} - A_{y}B_{x}) \\hat k\n\\end{aligned}\n<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Este resultado tamb\u00e9m pode ser encontrado calculando-se o determinante da seguinte matriz,<\/p>\n\n\n\n
\\vec A \\times \\vec B = \\begin{vmatrix}\n\\hat i & \\hat j & \\hat k \\\\\nA_{x} & A_{y} & A_{z} \\\\\nB_{x} & B_{y} & B_{z}\n\\end {vmatrix}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
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Diagrama esquem\u00e1tico do produto vetorial<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n
Podemos associar um vetor unit\u00e1rio \u00e0s grandezas de rota\u00e7\u00e3o, isso porque, como podemos verificar, o torque indica o sentido de rota\u00e7\u00e3o de uma part\u00edcula, quando esta est\u00e1 sobre a a\u00e7\u00e3o de uma for\u00e7a aplicada, tal for\u00e7a determinar\u00e1 o sentido do torque.<\/p>\n\n\n\n
A defini\u00e7\u00e3o de produto vetorial indica que o torque deve estar associado ao vetor C<\/strong>\u00a0da figura acima, permitindo que sejamos capazes de enunciar algumas regras que indiquem a dire\u00e7\u00e3o e o sentido do torque. Essa regra \u00e9 conhecida como a regra da m\u00e3o direita<\/em><\/strong>, o vetor A<\/strong>\u00a0\u00e9 representado pelo polegar, o vetor B<\/strong>\u00a0pelo dedo indicador e o vetor C<\/strong>\u00a0pelo dedo m\u00e9dio, podemos ainda determinar o sentido de rota\u00e7\u00e3o considerando o sentido de fechamento da m\u00e3o direita, como identificado na imagem, este sentido pode ser associado \u00e0 velocidade angular \u03c9<\/em><\/strong>, dizendo se o sentido de rota\u00e7\u00e3o \u00e9 anti-hor\u00e1rio ou hor\u00e1rio.<\/p>\n\n\n\n
Devemos perceber que mudando a ordem do produto mudamos o sentido do vetor C<\/strong>, de forma geral o torque vetorial <\/strong> produzido por uma for\u00e7a F<\/strong>\u00a0aplicada no ponto determinado pelo vetor r<\/strong><\/em>, pode ser definido como<\/p>\n\n\n\n
\\vec \\tau = \\vec r \\times \\vec F<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Estabeleceremos que quando o movimento for anti-hor\u00e1rio teremos um movimento progressivo, de modo a obedecer a forma com a qual o c\u00edrculo trigonom\u00e9trico varia, e o movimento ser\u00e1 retr\u00f3grado quando o sentido de rota\u00e7\u00e3o for hor\u00e1rio. Devemos tomar cuidado com o sentido da acelera\u00e7\u00e3o angular, pois quando esta tiver o mesmo sentido da velocidade angular o movimento ser\u00e1 acelerado e se o sentido for oposto, o movimento ser\u00e1 desacelerado.<\/p>\n\n\n\n
REGRA DA M\u00c3O DIREITA<\/strong><\/p>\n\n\n\n
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O sentido de rota\u00e7\u00e3o \u00e9 indicado pelo fechamento da m\u00e3o. No caso acima, o sentido de rota\u00e7\u00e3o \u00e9 o anti-hor\u00e1rio.<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n
Tratemos o caso em que N for\u00e7as est\u00e3o sendo aplicadas em uma part\u00edcula de massa m<\/em> e que executa um movimento circular de raio r, desta forma cada for\u00e7a realizar\u00e1 um torque sobre a part\u00edcula, de modo que<\/p>\n\n\n\n
\\vec \\tau_{1} + \\vec \\tau_{2} + \\vec \\tau_{3}+ \\dots + \\vec \\tau_{N} = \\vec \\tau_{R}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
onde  \u00e9 o torque resultante aplicado ao corpo de massa m<\/em>, dessa forma podemos escrever,<\/p>\n\n\n\n
\\vec \\tau_{R} = \\vec r \\times \\vec F_{1} + \\vec r \\times \\vec F_{2} + \\dots +\\vec r \\times \\vec F_{N} <\/pre><\/div>\n\n\n\n
com m\u00f3dulo,<\/p>\n\n\n\n
\\left |\\vec \\tau_{R}  \\right| = r \\sum_{i=1}^{N}F_{ti} = rma_{t}=mr^2\\alpha = I \\alpha<\/pre><\/div>\n\n\n\n
tendo-se Fti<\/sub>\u00a0como sendo a somat\u00f3ria de todas as componentes tangenciais das for\u00e7as que atuam no corpo de massa m<\/em>, e I\u00a0\u00e9 o momento de in\u00e9rcia da part\u00edcula de massa m<\/em>, de modo geral, podemos definir a segunda lei de Newton para a rota\u00e7\u00e3o como sendo,<\/p>\n\n\n\n
\\vec \\tau_{R} = I \\alpha<\/pre><\/div>\n\n\n\n
a equa\u00e7\u00e3o acima afirma que o torque resultante \u00e9 igual ao produto do momento de in\u00e9rcia da part\u00edcula de massa m<\/em> pela sua acelera\u00e7\u00e3o angular, aqui devemos perceber que o torque resultante tem a mesma dire\u00e7\u00e3o e o mesmo sentido da acelera\u00e7\u00e3o angular.<\/p>\n\n\n\n
ENERGIA CIN\u00c9TICA DE ROTA\u00c7\u00c3O<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Continuemos analisando o caso de uma part\u00edcula movendo-se em uma trajet\u00f3ria circular de raio r, e determinemos o valor da energia cin\u00e9tica desta part\u00edcula de massa m<\/em>, sabemos que a energia cin\u00e9tica \u00e9 definida por<\/p>\n\n\n\n
E_{CR} = \\frac{1}{2}mv^2=\\frac{1}{2}m(r \\omega)^2=\\frac{1}{2}(mr^2)\\omega^2=\\frac{1}{2}I\\omega^2<\/pre><\/div>\n\n\n\n
logo, a energia cin\u00e9tica de rota\u00e7\u00e3o \u00e9 dada pela express\u00e3o acima, que como veremos, \u00e9 geral, valendo para corpos r\u00edgidos tamb\u00e9m.<\/p>\n\n\n\n
Consideremos que um corpo r\u00edgido \u00e9 formado por v\u00e1rias pequenas por\u00e7\u00f5es de massas mi<\/sub><\/em>\u00a0e que cada uma destas por\u00e7\u00f5es tem uma velocidade vi<\/sub><\/em>, e que cada massa \u00e9 localizada por um vetor ri<\/sub><\/strong>, mas que gira em torno de um determinado eixo com velocidade angular \u03c9, a energia cin\u00e9tica de rota\u00e7\u00e3o total deste corpo r\u00edgido ser\u00e1<\/p>\n\n\n\n
E_{CR}=\\sum_{i=1}^{N}\\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}=\\frac{1}{2}I\\omega^2<\/pre><\/div>\n\n\n\n
onde \u00a0\u00e9 o momento de in\u00e9rcia de cada part\u00edcula que comp\u00f5e o corpo r\u00edgido, portanto, como queremos somar todos os pequenos peda\u00e7os que formam o corpo r\u00edgido teremos<\/p>\n\n\n\n
I = \\lim_{m_i \\rightarrow 0} \\sum_{i=1}^{N}m_ir_i^2 = \\int r^2 dm<\/pre><\/div>\n\n\n\n
<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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