{"id":840,"date":"2021-05-09T15:41:42","date_gmt":"2021-05-09T19:41:42","guid":{"rendered":"http:\/\/fiziko.net\/?page_id=840"},"modified":"2026-03-24T16:17:39","modified_gmt":"2026-03-24T20:17:39","slug":"oscilacoes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/fiziko.net\/?page_id=840","title":{"rendered":"OSCILA\u00c7\u00d5ES"},"content":{"rendered":"\n

OSCILA\u00c7\u00d5ES SIMPLES<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Uma fun\u00e7\u00e3o <\/em>f:\u211d\u2192\u211d \u00e9 dita peri\u00f3dica de per\u00edodo <\/em>T (tamb\u00e9m chamada de T-peri\u00f3dica) se existe uma constante positiva<\/em> T tal que<\/em><\/p>\n\n\n\n

f(t) = f(t+T)<\/pre><\/div>\n\n\n\n
para todo <\/em>t \u2208 \u211d.<\/p>\n\n\n\n
Algumas fun\u00e7\u00f5es peri\u00f3dicas admitem um menor per\u00edodo, chamado de per\u00edodo fundamental. A frequ\u00eancia fundamental \u00e9 ent\u00e3o dada por <\/em>f=1\/T e a frequ\u00eancia angular fundamental \u00e9 dada por <\/em>wf<\/sub> = 2\u03c0f.<\/em><\/p>\n\n\n\n
Oscilador Massa-Mola<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Utilizando-se a segunda Lei de Newton e analisando as for\u00e7a que atuam no corpo de massa m<\/em>, podemos verificar que h\u00e1 sobre a massa uma for\u00e7a peso P<\/strong>, uma for\u00e7a el\u00e1stica Fel<\/sub><\/strong>, a for\u00e7a normal N<\/strong> e sem for\u00e7a de atrito entre o bloco e a superf\u00edcie.<\/p>\n\n\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
logo, aplicando a Segunda Lei de Newton<\/p>\n\n\n\n
\\vec{F}_{R} = m \\vec{a} \\\\\n\\vec{F}_{el} + \\vec{P} + \\vec{N} = m \\vec{a} \\\\<\/pre><\/div>\n\n\n\n
como a for\u00e7a peso P<\/strong> \u00e9 igual a for\u00e7a normal N<\/strong><\/p>\n\n\n\n
\\vec{F}_{el} = m \\vec{a}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
considerando o movimento em uma dimens\u00e3o 1D, tem-se<\/p>\n\n\n\n
-kx = m \\frac{d^2x}{dt^2} \\\\\n\\frac{d^2x}{dt^2} + \\frac{k}{m} x = 0<\/pre><\/div>\n\n\n\n
a equa\u00e7\u00e3o acima \u00e9 chamada de equa\u00e7\u00e3o de movimento do oscilador harm\u00f4nico simples OHS, defini-se a frequ\u00eancia angulardo oscilador massa-mola por<\/p>\n\n\n\n
\\omega^2=\\frac{k}{m}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
portanto, pode-se escrever que<\/p>\n\n\n\n
\\frac{d^2x}{dt^2} + \\omega^2 x = 0<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Uma poss\u00edvel solu\u00e7\u00e3o para a equa\u00e7\u00e3o de movimento do OHS \u00e9 a fun\u00e7\u00e3o<\/p>\n\n\n\n
x(t) = A \\cos (\\omega t + \\theta_{0})<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Fa\u00e7a a prova!<\/p>\n\n\n\n
Pode-se determinar a velocidade e a acelera\u00e7\u00e3o do OHS, logo<\/p>\n\n\n\n
v_{x} = \\frac{dx}{dt} = -A \\omega \\sin(\\omega t + \\theta_{0}) \\\\\nv_{x,max} = A \\omega<\/pre><\/div>\n\n\n\n
a_{x} = \\frac{dv_{x}}{dt} = -A\\omega^2 \\cos(\\omega t + \\theta_{0})\\\\\na_{x,max} = A \\omega^2<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Obtendo rela\u00e7\u00f5es entre as grandezas<\/p>\n\n\n\n
\\sin^2 \\theta +\\cos^2 \\theta = 1  \\\\\n\\left(-\\frac{v_{x}}{A \\omega}\\right)^2 + \\left(\\frac{x}{A}\\right)^2 = 1 \\\\\n<\/pre><\/div>\n\n\n\n
\\left(\\frac{v_{x}}{ \\omega}\\right)^2 + x^2 = A^2<\/pre><\/div>\n\n\n\n
e<\/p>\n\n\n\n
\\sin^2 \\theta +\\cos^2 \\theta = 1  \\\\\n\\left(-\\frac{v_{x}}{A \\omega}\\right)^2 + \\left(-\\frac{a_{x}}{A\\omega^2}\\right)^2 = 1 \\\\\n<\/pre><\/div>\n\n\n\n
v_{x}^{2} + \\left(\\frac{a_{x}}{\\omega}\\right)^2 = A^2 \\omega^2<\/pre><\/div>\n\n\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
Energia no OHS<\/strong><\/p>\n\n\n\n
A energia cin\u00e9tica<\/em><\/strong> de um corpo em movimento \u00e9 determinada pela express\u00e3o<\/p>\n\n\n\n
E_{C} = \\frac{1}{2}mv^2<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Como vimos acima, a velocidade de um oscilador harm\u00f4nico varia com o tempo e \u00e9 descreita por uma fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica, logo<\/p>\n\n\n\n
E_{C} = \\frac{1}{2} m \\left[-A \\omega \\sin (\\omega t + \\theta_{0}) \\right]^2 \\\\ ou \\\\\nE_{C} = \\frac{1}{2} m A^2 \\omega^2 \\sin^2 (\\omega t + \\theta_{0})<\/pre><\/div>\n\n\n\n
A energia potencial<\/em><\/strong>  <\/em>no sistema massa-mola \u00e9 el\u00e1stica, portanto<\/p>\n\n\n\n
U = \\frac{1}{2} k x^2 <\/pre><\/div>\n\n\n\n
Como sabemos, a posi\u00e7\u00e3o de um oscilador harm\u00f4nico varia com o tempo e \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica, assim<\/p>\n\n\n\n
\n
\n
\n
U = \\frac{1}{2} k \\left[ A \\cos (\\omega t + \\theta_{0}) \\right]^2 \\\\\nou\n\\\\\nU = \\frac{1}{2} k A^2 \\cos^2 (\\omega t + \\theta_{0})<\/pre><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n
A energia mc\u00e2nica<\/em><\/strong> ao contr\u00e1rio do que se espera n\u00e3o varia com o tempo, mantendo-se constante, dada por<\/p>\n\n\n\n
E = E_{C} + U<\/pre><\/div>\n\n\n\n
E =  \\frac{1}{2} m A^2 \\omega^2 \\sin^2 (\\omega t + \\theta_{0}) + \\frac{1}{2} k A^2 \\cos^2 (\\omega t + \\theta_{0})<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Se utilizarmos a express\u00e3o,<\/p>\n\n\n\n
\\omega^2 m=k <\/pre><\/div>\n\n\n\n
logo,<\/p>\n\n\n\n
E = \\frac{1}{2} A^2k \\sin^2(\\omega t + \\theta_{0}) + \\frac{1}{2} A^2 k \\cos^2(\\omega t + \\theta_{0}) <\/pre><\/div>\n\n\n\n
Utilizando-se<\/p>\n\n\n\n
\\sin^2 \\theta + \\cos^2 \\theta = 1<\/pre><\/div>\n\n\n\n
temos,<\/p>\n\n\n\n
E = \\frac{1}{2} kA^2 = \\frac{1}{2}mA^2 \\omega^2<\/pre><\/div>\n\n\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
OSCILA\u00c7\u00d5ES AMORTECIDAS<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Chamamos de amortecimento<\/em><\/strong> a diminui\u00e7\u00e3o da amplitude provocada por uma for\u00e7a dissipativa e de oscila\u00e7\u00e3o amortecida<\/em><\/strong> o movimento correspondente.<\/p>\n\n\n\n
Se considerarmos o sistema massa-mola submetido a uma for\u00e7a dissipativa proporcional \u00e0 velocidade, do tipo<\/p>\n\n\n\n
\\vec{F}_{d} = -b\\vec{v} <\/pre><\/div>\n\n\n\n
A equa\u00e7\u00e3o de movimento para este oscilador depender\u00e1 da for\u00e7a el\u00e1stica e da for\u00e7a dissipativa<\/p>\n\n\n\n
\\vec{F}_{R} = \\vec{F}_{el} + \\vec{P} + \\vec{N} + \\vec{F}_{d} = m\\vec{a}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
como a for\u00e7a peso se anula com a for\u00e7a normal, tomando-se o sistema oscilando ao longo do eixo x<\/em>, em movimento 1D, tem-se<\/p>\n\n\n\n
-kx-bv_{x}=m\\frac{d^2x}{dt^2}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Reescrevendo a equa\u00e7\u00e3o acima, <\/p>\n\n\n\n
\\frac{d^2x}{dt^2} + \\frac{b}{m}\\frac{dx}{dt} + \\frac{k}{m}x = 0<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Uma boa pr\u00e1tica \u00e9 definirmos o operador matem\u00e1tico<\/p>\n\n\n\n
D = \\frac{d}{dt} \\\\\n\\text{e} \\\\\nD^2 = \\frac{d^2}{dt^2}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
pode-se escrever a equa\u00e7\u00e3o de movimento na forma<\/p>\n\n\n\n
D^2x + \\frac{b}{m}Dx + \\frac{k}{m}x = 0 \\\\\n\\text{logo,} \\\\\n\\left(D^2 + \\frac{b}{m}D + \\frac{k}{m}\\right)x = 0<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Resolvendo a equa\u00e7\u00e3o do segundo grau dentro dos parenteses, temos<\/p>\n\n\n\n
D = - \\frac{b}{2m} \\pm \\sqrt{\\left( \\frac{b}{2m}\\right)^2-\\frac{k}{m}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
O termo da frequ\u00eancia pura do oscilador \u03c90<\/sub>, sem a influ\u00eancia do amortecimento \u00e9 predominante,  e dado por<\/p>\n\n\n\n
\\omega_{0}^2 = \\frac{k}{m} <\/pre><\/div>\n\n\n\n
Ajustando a equa\u00e7\u00e3o de D<\/em>, teremos<\/p>\n\n\n\n
D = -\\frac{b}{2m} \\pm \\sqrt{-1}\\sqrt{\\omega_{0}^2 - \\left(\\frac{b}{2m}\\right)^2}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
com <\/p>\n\n\n\n
i = \\sqrt{-1}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
A equa\u00e7\u00e3o acima apresenta dois valores para D<\/em>, o que nos sugere que uma poss\u00edvel solu\u00e7\u00e3o \u00e9 uma combina\u00e7\u00e3o linear de exponenciais complexas de t<\/em>, assim,<\/p>\n\n\n\n
x(t) = C_{1}\\exp(D_{1}t) + C_{2}\\exp(D_{2}t)<\/pre><\/div>\n\n\n\n
teremos,<\/p>\n\n\n\n
x(t) = C_{1}\\exp{\\left[t \\left( -\\frac{b}{2m}+i\\sqrt{\\omega_{0}^2-\\left( \\frac{b}{2m}  \\right)^2} \\right) \\right]} + \\\\ +C_{2}\\exp{\\left[t \\left( -\\frac{b}{2m}-i\\sqrt{\\omega_{0}^2-\\left( \\frac{b}{2m}  \\right)^2} \\right) \\right]}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Utilizando-se a condi\u00e7\u00e3o de que,<\/p>\n\n\n\n
C_{1} = C_{2} = \\frac{A}{2}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
podemos reescrever a equa\u00e7\u00e3o acima como,<\/p>\n\n\n\n
x(t) = \\frac{A}{2} \\exp{\\left( -\\frac{b}{2m}t\\right)} \\exp{\\left[t \\left( +i\\sqrt{\\omega_{0}^2-\\left( \\frac{b}{2m}  \\right)^2} \\right) \\right]} + \\\\ +\\frac{A}{2} \\exp{\\left( \\frac{b}{2m}t\\right)} \\exp{\\left[t \\left( -i\\sqrt{\\omega_{0}^2-\\left( \\frac{b}{2m}  \\right)^2} \\right) \\right]}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
simplificando,<\/p>\n\n\n\n
x(t) = \\frac{A}{2} \\exp{\\left( -\\frac{b}{2m}t \\right)} \\left\\{ \\exp{(+it\\omega')} + \\exp{(-it\\omega')} \\right\\}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
onde \u03c9’ \u00e9 a frequ\u00eancia angular do oscilador amortecido, dada por<\/p>\n\n\n\n
\\omega' = \\sqrt{\\omega_{0}^2 - \\left(\\frac{b}{2m}\\right)^2}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Utilizando a identidade<\/p>\n\n\n\n
\\cos{z} = \\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Logo, acrescentando a influ\u00eancia da constante de fase \u03b80<\/sub><\/p>\n\n\n\n
x(t) = \\displaystyle{A e^{-\\frac{b}{2m}t}\\cos{(\\omega' t + \\theta_{0})}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
A equa\u00e7\u00e3o acima \u00e9 a uma solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o de movimento do Oscilador Amortecido, deixaremos que o estudante tire a prova.<\/p>\n\n\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
Podemos realizar o estudo da frequ\u00eancia do oscilador amortecido, vemos que quando o valor de b<\/em> \u00e9 menor que o valor cr\u00edtico, que \u00e9<\/p>\n\n\n\n
\\text{se }\\omega' \\rightarrow 0 \\text{, temos que, } \\frac{k}{m} - \\frac{b^2}{4m^2} = 0<\/pre><\/div>\n\n\n\n
e o valor cr\u00edtico de b<\/em> \u00e9 dado por<\/p>\n\n\n\n
b = 2\\sqrt{km}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Na condi\u00e7\u00e3o acima de b<\/em>, tem-se um amortecimento cr\u00edtico<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
Para b<\/em> menor que o valor cr\u00edtico, a condi\u00e7\u00e3o denomina-se subamortecimento<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
A condi\u00e7\u00e3o onde b<\/em> \u00e9 maior que o valor cr\u00edtico corresponde ao superamortecimento<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
Nas oscila\u00e7\u00f5es amortecidas, a for\u00e7a do amortecimento n\u00e3o \u00e9 conservativa; a energia mec\u00e2nica do sistema n\u00e3o \u00e9 constante e diminui continuamente, tendendo a zero depois de um longo tempo.<\/p>\n\n\n\n
A taxa de varia\u00e7\u00e3o da energia pode ser calculada utilizando-se<\/p>\n\n\n\n
\\frac{dE}{dt} = \\frac{dE_{C}}{dt} + \\frac{dU_{el}}{dt}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
as derivadas s\u00e3o<\/p>\n\n\n\n
\\frac{dE}{dt} = \\frac{1}{2}m \\left(2v \\frac{dv}{dt}\\right) + \\frac{1}{2}k \\left(2x\\frac{dx}{dt} \\right)<\/pre><\/div>\n\n\n\n
simplificando<\/p>\n\n\n\n
\\frac{dE}{dt} = v \\left( m \\frac{dv}{dt} + kx\\right)<\/pre><\/div>\n\n\n\n
o termo dentro dos parenteses \u00e9 obtido pela equa\u00e7\u00e3o de movimento, logo<\/p>\n\n\n\n
m \\frac{dv}{dt} + kx = -bv<\/pre><\/div>\n\n\n\n
assim,<\/p>\n\n\n\n
\\frac{dE}{dt} = -bv^2<\/pre><\/div>\n\n\n\n
A equa\u00e7\u00e3o acima informa que, a taxa de varia\u00e7\u00e3o da energia mec\u00e2nica total \u00e9 igual ao negativo da taxa com a qual a for\u00e7a do amortecimento realiza trabalho sobre o sistema.<\/p>\n\n\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
P\u00caNDULO SIMPLES<\/strong><\/p>\n\n\n\n
O p\u00eandulo smples \u00e9 um modelo f\u00edsico ideal, leva em considera\u00e7\u00e3o o comportamento de uma part\u00edcula de massa m<\/em> presa em um fio de comprimento L<\/em> com massa desprez\u00edvel e inextens\u00edvel, com a outra extremidade do fio presa em um ponto fixo. <\/p>\n\n\n\n
A part\u00edcula \u00e9 levemente puxada para a lateral, produzindo um deslocamento angular \u03b8, removendo-a de seu estado de equil\u00edbrio. Neste ponto, a for\u00e7a peso atua como uma for\u00e7a restauradora, fanzendo a part\u00edcula retornar ao seu ponto de equil\u00edbrio, desprezando-se a for\u00e7a de arrasto do ar, a energia inicial imprimida ao p\u00eandulo \u00e9 conservada fazendo com que a part\u00edcula execute um movimento peri\u00f3dico, ver figura.<\/p>\n\n\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
Como vemos na figura, a part\u00edcula executa ummovimento circular de raio L<\/em>, desta maneira podemos escrever que o valor de x<\/em> \u00e9 dado por<\/p>\n\n\n\n
x = \\theta L<\/pre><\/div>\n\n\n\n
A componente tangencial do peso \u00e9 a for\u00e7a restauradora, portanto<\/p>\n\n\n\n
F_{t}=-mg\\sin{\\theta}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Destaca-se ainda, a for\u00e7a tangencial como sendo o produto da massa da part\u00edcula por sua acelera\u00e7\u00e3o tangencial at<\/sub> dada por<\/p>\n\n\n\n
\\displaystyle{F_{t}=ma_{t}}\\\\\n.\n\\\\\n\\displaystyle{a_{t}=\\frac{d^2x}{dt^2} }\\\\  \n.  \\\\\n\\displaystyle{a_{t}=L \\frac{d^2 \\theta}{dt^2}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
A equa\u00e7\u00e3o de movimento do p\u00eandulo simples \u00e9 dada por<\/p>\n\n\n\n
mL \\frac{d^2\\theta}{dt^2}+mg\\sin{\\theta}=0 \\\\\n. \\\\\n\\frac{d^2 \\theta}{dt^2}+\\left(\\frac{g}{L}\\right)\\sin{\\theta}=0<\/pre><\/div>\n\n\n\n
A equa\u00e7\u00e3o de movimento acima \u00e9 n\u00e3o-linear e n\u00e3o se caracteriza como um oscilador harm\u00f4nico simples, no entanto, se utilizarmos o resultado para pequenos \u00e2ngulos sen(\u03b8) \u2248 \u03b8 <\/em>, a equa\u00e7\u00e3o passa ter as mesmas caracter\u00edsticas do oscilador simples<\/p>\n\n\n\n
\\frac{d^2 \\theta}{dt^2}+\\left(\\frac{g}{L}\\right)\\theta=0<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Temos, como resultado para a frequ\u00eancia angular \u03c9, quando \u03b8 for muito pequeno, a express\u00e3o<\/p>\n\n\n\n
\\omega^2 = \\frac{g}{L}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Logo, o per\u00edodo ser\u00e1<\/p>\n\n\n\n
T = 2 \\pi \\sqrt{\\frac{L}{g}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Note que o per\u00edodo das pequenas oscila\u00e7\u00f5es n\u00e3o dependa da massa m<\/em> da part\u00edcula.<\/p>\n\n\n\n
OSCILA\u00c7\u00d5ES FOR\u00c7ADAS<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Oscila\u00e7\u00e3o for\u00e7ada<\/strong> \u00e9 o movimento de um sistema que oscila sob a influ\u00eancia cont\u00ednua de uma for\u00e7a externa oscilante<\/strong> F<\/mi>e<\/mi>x<\/mi>t<\/mi><\/mrow><\/msub>F_{ext}<\/annotation><\/semantics><\/math>, diferente de uma oscila\u00e7\u00e3o livre (sem for\u00e7a externa) ou amortecida (com atrito). A chave \u00e9 que uma for\u00e7a externa, como um empurr\u00e3o peri\u00f3dico em um balan\u00e7o ou uma vibra\u00e7\u00e3o, imp\u00f5e sua pr\u00f3pria frequ\u00eancia ao sistema, que passa a oscilar com a frequ\u00eancia dessa for\u00e7a (regime estacion\u00e1rio), e n\u00e3o com sua pr\u00f3pria frequ\u00eancia natural, podendo levar \u00e0 resson\u00e2ncia<\/strong>  quando as frequ\u00eancias coincidem, resultando em amplitudes muito grandes.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
A for\u00e7a resultante ao longo da dire\u00e7\u00e3o x ser\u00e1<\/p>\n\n\n\n
m a_{x}=-bv_{x}-kx+F_{ext}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
a for\u00e7a externa oscilante tem a forma<\/p>\n\n\n\n
F_{ext} = F_{0}cos \\omega_{f} t<\/pre><\/div>\n\n\n\n
a equa\u00e7\u00e3o de movimento<\/strong> ficar\u00e1<\/p>\n\n\n\n
\\frac{d^2x}{dt^2}+\\frac{b}{m}\\frac{dx}{dt}+\\frac{k}{m}x=\\frac{F_{0}}{m}\\cos \\omega_{f} t<\/pre><\/div>\n\n\n\n
logo, com 2<\/mn>\u03b3<\/mi>=<\/mo>b<\/mi>m<\/mi><\/mfrac><\/mrow>2\\gamma=\\frac{b}{m}<\/annotation><\/semantics><\/math> e \u03c9<\/mi>0<\/mn>2<\/mn><\/msubsup>=<\/mo>k<\/mi>m<\/mi><\/mfrac><\/mrow>\\omega_{0}^2=\\frac{k}{m}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/p>\n\n\n\n
\\frac{d^2x}{dt^2}+2\\gamma\\frac{dx}{dt}+\\omega_{0}^2 x=\\frac{F_{0}}{m}\\cos \\omega_{f} t<\/pre><\/div>\n\n\n\n
A solu\u00e7\u00e3o geral \u00e9 determinada pela combina\u00e7\u00e3o linear da solu\u00e7\u00e3o estacion\u00e1ria<\/strong> x<\/mi>1<\/mn><\/msub>x_{1}<\/annotation><\/semantics><\/math>, dada por<\/p>\n\n\n\n
x_{1}(t)=A\\cos \\omega_{f} t + B \\sin \\omega_{f} t<\/pre><\/div>\n\n\n\n
e a solu\u00e7\u00e3o transiente<\/strong> x<\/mi>2<\/mn><\/msub>x_{2}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/p>\n\n\n\n
x_{2}(t)=e^{-\\gamma t}(C\\cos \\omega t+D\\sin \\omega t)<\/pre><\/div>\n\n\n\n
onde, \u03c9<\/mi>=<\/mo>\u03c9<\/mi>0<\/mn><\/msub>2<\/mn><\/msup>\u2212<\/mo>\u03b3<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/mrow><\/msqrt><\/mrow>\\omega = \\sqrt{{\\omega_{0}}^2-\\gamma^2}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/p>\n\n\n\n
portanto,<\/p>\n\n\n\n
x(t)=A\\cos \\omega_{f} t + B \\sin \\omega_{f} t + e^{-\\gamma t}(C\\cos \\omega t+D\\sin \\omega t)<\/pre><\/div>\n\n\n\n
A velocidade do oscilador for\u00e7ado \u00e9<\/p>\n\n\n\n
v(x)=\\frac{dx}{dt}=-A\\omega_{f}\\sin \\omega_{f} t + B \\omega_{f} \\cos\\omega_{f} t- \\\\\n- \\gamma e^{-\\gamma t}(C\\cos \\omega t + D \\sin\\omega t)+\\omega e^{-\\gamma t}(C cos \\omega t + D \\sin \\omega t)<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Come\u00e7emos analisando a solu\u00e7\u00e3o estacion\u00e1ria na seguinte forma<\/p>\n\n\n\n
x(t)=A_{0}\\sin ({\\omega_{f} t- \\delta})<\/pre><\/div>\n\n\n\n
podemos reescrever a equa\u00e7\u00e3o como<\/p>\n\n\n\n
x(t)=A_{0}\\sin \\omega_{f}t \\cos \\delta-A_{0}\\cos\\omega_{f}t\\sin\\delta<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Calculando-se a primeira e segunda derivadas, tem-se<\/p>\n\n\n\n
\\frac{dx}{dt}=A_{0}\\omega_{f}\\cos\\delta\\cos\\omega_{f}t+A_{0}\\omega_{f}\\sin\\delta\\sin\\omega_{f}t<\/pre><\/div>\n\n\n\n
tamb\u00e9m,<\/p>\n\n\n\n
\\frac{d^2x}{dt^2}=-A_{0}\\omega_{f}^2\\cos\\delta\\sin\\omega_{f}t+A_{0}\\omega_{f}^2\\sin\\delta\\cos\\omega_{f}t<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Substituindo na equa\u00e7\u00e3o de movimento, teremos<\/p>\n\n\n\n
-A_{0}\\omega_{f}^2\\cos\\delta\\sin\\omega_{f}t+A_{0}\\omega_{f}^2\\sin\\delta\\cos\\omega_{f}t+\\\\ +2\\gamma(A_{0}\\omega_{f}\\cos\\delta\\cos\\omega_{f}t+A_{0}\\omega_{f}\\sin\\delta\\sin\\omega_{f}t)+\\\\\n+\\omega_{0}^2(A_{0}\\sin \\omega_{f}t \\cos \\delta-A_{0}\\cos\\omega_{f}t\\sin\\delta)=\\frac{F_{0}}{m}\\cos\\omega_{f}t+0\\sin\\omega_{f}t<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Organizando a equa\u00e7\u00e3o acima e utilizando a indentidade na igualdade, <\/p>\n\n\n\n
\\left( A_{0}\\omega_{f}^2\\sin\\delta+2\\gamma A_{0}\\omega_{f}\\cos \\delta-A_{0}\\omega_{0}^2\\sin \\delta \\right)\\cos\\omega_{f}t+\\\\\n+\\left( -A_{0}\\omega_{f}^2\\cos\\delta+2\\gamma A_{0}\\omega_{f}\\sin \\delta+A_{0}\\omega_{0}^2\\cos \\delta  \\right)\\sin\\omega_{f}t= \\frac{F_{0}}{m}\\cos\\omega_{f}t+0\\sin\\omega_{f}t<\/pre><\/div>\n\n\n\n
logo, pela identidade<\/p>\n\n\n\n
\\begin{cases}\n    2\\gamma \\omega_{f} A_{0}\\cos \\delta-(\\omega_{0}^2-\\omega_{f}^2)A_{0}\\sin\\delta=\\frac{F_{0}}{m}       \\\\\n    (\\omega_{0}^2-\\omega_{f}^2)A_{0}\\cos\\delta+2\\gamma \\omega_{f} A_{0} \\sin \\delta=0\n  \\end{cases}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Resolvendo o sistema acima por substitui\u00e7\u00e3o<\/p>\n\n\n\n
2\\gamma \\omega_{f} A_{0}\\cos \\delta+\\frac{(\\omega_{0}^2-\\omega_{f}^2)^2}{2\\gamma\\omega_{f}}A_{0}\\cos\\delta=\\frac{F_{0}}{m}       \\\\\n. \\\\\nA_{0}\\cos \\delta=\\frac{2 \\gamma \\omega_{f}F_{0}}{m \\left( (\\omega_{0}^2-\\omega_{f}^2)^2+4\\gamma^2\\omega_{f}^2 \\right)}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
e<\/p>\n\n\n\n
A_{0}\\sin\\delta=-\\frac{(\\omega_{0}^2-\\omega_{f}^2)}{2\\gamma\\omega_{f}}A_{0}\\cos\\delta \\\\\n.\\\\\nA_{0}\\sin\\delta=-\\frac{(\\omega_{0}^2-\\omega_{f}^2)F_{0}}{m \\left( (\\omega_{0}^2-\\omega_{f}^2)^2+4\\gamma^2\\omega_{f}^2 \\right)}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
utilizando-se, cos<\/mi>2<\/mn><\/msup>\u2061<\/mo><\/mspace>\u03b4<\/mi>+<\/mo>sin<\/mi>2<\/mn><\/msup>\u2061<\/mo><\/mspace>\u03b4<\/mi>=<\/mo>1<\/mn><\/mrow>\\cos^2 \\delta + \\sin^2\\delta =1<\/annotation><\/semantics><\/math><\/p>\n\n\n\n
A_{0}^2\\cos^2\\delta+A_{0}^2\\sin^2\\delta=\\frac{(\\omega_{0}^2-\\omega_{f}^2)^2-4\\gamma^2\\omega_{f}^2}{ \\left( (\\omega_{0}^2-\\omega_{f}^2)^2+4\\gamma^2\\omega_{f}^2 \\right)^2}\\frac{F_{0}^2}{m^2} \\\\\n.\\\\\nA_{0}=\\frac{F_{0}\/m}{\\sqrt{\\left( (\\omega_{0}^2-\\omega_{f}^2)^2+4\\gamma^2\\omega_{f}^2 \\right)}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
O resultado acima \u00e9 a amplitude do oscilador for\u00e7ado com amortecimento<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
podemos calcular a rela\u00e7\u00e3o da constante de fase<\/strong> \u03b4<\/mi>\\delta<\/annotation><\/semantics><\/math><\/p>\n\n\n\n
\\tan\\delta = \\frac{\\sin\\delta}{\\cos\\delta}=\\frac{\\omega_{f}^2-\\omega_{0}^2}{2\\gamma \\omega_{f}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Para analisarmos o comportamento nos gr\u00e1ficos da amplitude e da constante de fase em fun\u00e7\u00e3o da frequ\u00eancia, fazemos \u03c4<\/mi>=<\/mo>\u03c9<\/mi>f<\/mi><\/msub>\/<\/mi>\u03c9<\/mi>0<\/mn><\/msub><\/mrow>\\tau=\\omega_{f}\/\\omega_{0}<\/annotation><\/semantics><\/math> e \u03bd<\/mi>=<\/mo>\u03b3<\/mi>\/<\/mi>\u03c9<\/mi>0<\/mn><\/msub><\/mrow>\\nu=\\gamma\/\\omega_{0}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/p>\n\n\n\n
\\begin{cases}\n   A_{0}m\\omega_{0}\/F_{0}= \\displaystyle \\frac{1}{\\sqrt{(1-\\tau^2)^2+4\\nu^2\\tau^2}} \\\\\n\n   \\delta = \\arctan\\displaystyle\\frac{\\tau^2-1}{2\\nu\\tau}\n\n\\end{cases}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Comportamento da Amplitude versus a frequ\u00eancia<\/p>\n\n\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
Nota-se que um pico acentuado vai se formando quando o amortecimento vai tendendo a zero e a frequ\u00eancia da for\u00e7a externa \u03c9<\/mi>f<\/mi><\/msub>\\omega_{f}<\/annotation><\/semantics><\/math> se iguala a frequ\u00eancia natural do oscilador \u03c9<\/mi>0<\/mn><\/msub>\\omega_{0}<\/annotation><\/semantics><\/math>.<\/p>\n\n\n\n
Comportamento da constante de fase versus a frequ\u00eancia<\/p>\n\n\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
ENERGIA DO OSCILADOR FOR\u00c7ADO<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Quando a for\u00e7a externa atua sobre o oscilador, ela realiza trabalho sobre ele e, portanto, cede energia para ele. A pot\u00eancia instant\u00e2nea exercida pela for\u00e7a \u00e9<\/p>\n\n\n\n
P(t)=F_{ext}(t)\\frac{dx}{dt}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Logo,<\/p>\n\n\n\n
P(t)=F_{0}\\cos(\\omega_{f}t)A_{0}\\omega_{f}\\cos(\\omega_{f}t-\\delta)<\/pre><\/div>\n\n\n\n
A pot\u00eancia varia durante o ciclo. O seu valor m\u00e9dio por ciclo \u00e9 determinado com a m\u00e9dia temporal de em um ciclo. Com , T<\/mi>=<\/mo>2<\/mn>\u03c0<\/mi><\/mrow>\u03c9<\/mi>f<\/mi><\/msub><\/mfrac><\/mrow>T=\\frac{2\\pi}{\\omega_{f}}<\/annotation><\/semantics><\/math> temos<\/p>\n\n\n\n
P=\\frac{1}{T}\\int_{0}^{2\\pi\/\\omega_{f}}{P(t)}dt \\\\\n.\\\\\nP=\\frac{\\omega_{f}}{2\\pi}F_{0}A_{0}\\omega_{f}\\int_{0}^{2\\pi\/\\omega_{f}}{\\cos(\\omega_{f}t)\\cos(\\omega_{f}t-\\delta)dt} <\/pre><\/div>\n\n\n\n
utilizemos a rela\u00e7\u00e3o abaixo<\/p>\n\n\n\n
\\cos(\\omega_{f}t)\\cos(\\omega_{f}t-\\delta)=\\cos(\\omega_{f}t)(\\cos(\\omega_{f}t)\\cos(\\delta)+\\sin(\\omega_{f}t)\\sin(\\delta)) = \\\\\n=\\cos^2(\\omega_{f}t)\\cos(\\delta)+\\cos(\\omega_{f}t)\\sin(\\omega_{f}t)\\sin(\\delta)= \\\\\n=\\cos^2(\\omega_{f}t)\\cos(\\delta)+\\frac{1}{2}\\sin(2\\omega_{f}t)\\sin(\\delta)<\/pre><\/div>\n\n\n\n
tem-se que<\/p>\n\n\n\n
P=\\frac{\\omega_{f}}{2\\pi}F_{0}A_{0}\\omega_{f}\\left[\\int_{0}^{2\\pi\/\\omega_{f}} \\cos^2(\\omega_{f}t)\\cos(\\delta)dt+\\int_{0}^{2\\pi\/\\omega_{f}}\\frac{1}{2}\\sin(2\\omega_{f}t)\\sin(\\delta)dt \\right]<\/pre><\/div>\n\n\n\n
a segunda integral vai zerar, ficando<\/p>\n\n\n\n
P=\\frac{\\omega_{f}^2}{2\\pi}F_{0}A_{0}\\cos(\\delta)\\int_{0}^{2\\pi\/\\omega_{f}} \\cos^2(\\omega_{f}t)dt<\/pre><\/div>\n\n\n\n
assim,<\/p>\n\n\n\n
P=\\frac{\\omega_{f}^2}{2\\pi}F_{0}A_{0}\\cos(\\delta)\\frac{\\pi}{\\omega_{f}} \\\\\n.\\\\\nP=\\frac{\\omega_{f}F_{0}}{2}\\frac{2 \\gamma \\omega_{f}F_{0}}{m \\left( (\\omega_{0}^2-\\omega_{f}^2)^2+4\\gamma^2\\omega_{f}^2 \\right)} \\\\\n.\\\\\nP=\\frac{\\gamma F_{0}^2\\omega_{f}^2\/m}{(\\omega_{0}^2-\\omega_{f}^2)^2+4\\gamma^2\\omega_{f}^2}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
fazemos \u03c4<\/mi>=<\/mo>\u03c9<\/mi>f<\/mi><\/msub>\/<\/mi>\u03c9<\/mi>0<\/mn><\/msub><\/mrow>\\tau=\\omega_{f}\/\\omega_{0}<\/annotation><\/semantics><\/math> e \u03bd<\/mi>=<\/mo>\u03b3<\/mi>\/<\/mi>\u03c9<\/mi>0<\/mn><\/msub><\/mrow>\\nu=\\gamma\/\\omega_{0}<\/annotation><\/semantics><\/math><\/p>\n\n\n\n
P\\omega_{0}m\/F_{0}=\\frac{\\nu \\ \\tau^2}{(\\tau^2-1)^2+4\\nu^2\\tau^2}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Definindo a grandeza chamada de fator de qualidade Q<\/strong>, como Q<\/mi>=<\/mo>\u03bd<\/mi>\u2212<\/mo>1<\/mn><\/mrow><\/msup>=<\/mo>\u03c9<\/mi>0<\/mn><\/msub>\u03b3<\/mi><\/mfrac><\/mrow>Q=\\nu^{-1}=\\frac{\\omega_{0}}{\\gamma}<\/annotation><\/semantics><\/math>. Note que o pico \u00e9 maior e mais estreito para Q<\/strong> maiores.<\/p>\n\n\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
Exerc\u00edcios<\/h2>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>
\n
Na Figura, um bloco com 14,0 N de peso, que pode deslizar sem atrito em um plano inclinado de \u00e2ngulo \u03b8 = 40,0\u00b0, est\u00e1 ligado ao alto do plano inclinado por uma mola, de massa desprez\u00edvel, de 0,450 m de comprimento quando relaxada, cuja constante el\u00e1stica \u00e9 120 N\/m. (a) A que dist\u00e2ncia do alto do plano inclinado fica o ponto de equil\u00edbrio do bloco? (b) Se o bloco \u00e9 puxado ligeiramente para baixo ao longo do plano inclinado e depois liberado, qual \u00e9 o per\u00edodo das oscila\u00e7\u00f5es resultantes?<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n
OSCILA\u00c7\u00c3O F\u00cdSICA<\/strong><\/p>\n\n\n\n
O p\u00eandulo f\u00edsico <\/strong>\u00e9 um sistema f\u00edsico descrito por um corpo que ocupa um espa\u00e7o, um corpo r\u00edgido cuja for\u00e7a resultante sobre ele \u00e9 restauradora<\/strong>, ocasionando um movimento peri\u00f3dico, que em pequenas oscila\u00e7\u00f5es descreve um MHS, caracterizado pela equa\u00e7\u00e3o de movimento abaixo<\/p>\n\n\n\n
\\frac{d^2x}{dt^2}+\\omega^2x=0<\/pre><\/div>\n\n\n\n
A figura a seguir representa um p\u00eandulo f\u00edsico, podendo assumir qualquer forma 1D, 2D ou 3D, caracterizada por sua distribui\u00e7\u00e3o de massa, <\/p>\n\n\n\n
\\mu = \\frac{dm}{dl} \\\\\n.\\\\\n\\sigma=\\frac{dm}{dA} \\\\\n.\\\\\n\\rho=\\frac{dm}{dV}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
e por seu momento de in\u00e9rcia <\/strong>I<\/mi>I<\/annotation><\/semantics><\/math>, definido por<\/p>\n\n\n\n
I=\\int r^2dm<\/pre><\/div>\n\n\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
O corpo pode oscilar livremente ao redor do eixo z e est\u00e1 fixo pelo piv\u00f4 mostrado na figura, a for\u00e7a peso atua no centro de gravidade (cg) do corpo, que fica localizado logo abaixo do piv\u00f4 quando o corpo est\u00e1 parado na posi\u00e7\u00e3o de equil\u00edbrio, localizado a uma dist\u00e2ncia d do piv\u00f4. Deslocando-se o corpo ligeiramente de \u03b8<\/mi>\\theta<\/annotation><\/semantics><\/math>, nota-se que a \u00fanica for\u00e7a respons\u00e1vel por fazer o objeto retornar a posi\u00e7\u00e3o de equil\u00edbrio \u00e9 o peso P<\/mi>\u2192<\/mo><\/mover>=<\/mo>m<\/mi>g<\/mi>\u2192<\/mo><\/mover><\/mrow>\\vec{P} = m \\vec{g}<\/annotation><\/semantics><\/math>, atuando como uma for\u00e7a restauradora, logo o torque resultante<\/strong> \u03c4<\/mi>R<\/mi><\/msub>\\tau_{R}<\/annotation><\/semantics><\/math> sobre o corpo \u00e9<\/p>\n\n\n\n
\\vec{\\tau}_{R}=-\\vec{r} \\times \\vec{F}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
onde o m\u00f3dulo do torque resultante \u00e9<\/p>\n\n\n\n
\\tau_{R}=-mgd\\sin{\\theta}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
considerando que o torque resultante \u00e9 \u03c4<\/mi>R<\/mi><\/msub>=<\/mo>I<\/mi>\u03b1<\/mi>z<\/mi><\/msub><\/mrow>\\tau_{R}=I\\alpha_{z}<\/annotation><\/semantics><\/math>, tem-se<\/p>\n\n\n\n
I \\alpha_{z}=-mgd\\sin{\\theta}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Para pequenas vibra\u00e7\u00f5es sin<\/mi>\u2061<\/mo><\/mspace><\/mrow>\u03b8<\/mi>\u2248<\/mo>\u03b8<\/mi><\/mrow>\\sin\\theta \\approx \\theta<\/annotation><\/semantics><\/math> e considerando que \u03b1<\/mi>z<\/mi><\/msub>=<\/mo>d<\/mi>2<\/mn><\/msup>\u03b8<\/mi><\/mrow>d<\/mi>t<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/mrow>\\alpha_{z} = \\frac{d^2\\theta}{dt^2}<\/annotation><\/semantics><\/math>,<\/p>\n\n\n\n
\\frac{d^2\\theta}{dt^2}+\\left( \\frac{mgd}{I}\\right)\\theta=0<\/pre><\/div>\n\n\n\n
portanto, a frequ\u00eancia angular <\/strong>\u03c9<\/mi>\\omega<\/annotation><\/semantics><\/math> do p\u00eandulo f\u00edsico \u00e9 dada por<\/p>\n\n\n\n
\\omega=\\sqrt{\\frac{mgd}{I}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Para ilustrar o comportamento de um p\u00eandulo f\u00edsico, consideremos uma r\u00e9gua muito fina de um metro de comprimento L = 1m e massa distribu\u00edda uniformemente, ocupando apenas um espa\u00e7o 1D, como na figura (a), e um p\u00eandulo simples de comprimento L<\/mi>0<\/mn><\/msub>L_{0}<\/annotation><\/semantics><\/math> e massa m figura (b). <\/p>\n\n\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n
Sabendo-se que a r\u00e9gua pode oscilar livremente sobre o piv\u00f4 no ponto O e que seu centro de gravidade coincide com o seu centro de massa em C, e que o momento de in\u00e9rcia da barra girando em torno do ponto O na sua extremidade \u00e9 I<\/mi>=<\/mo>1<\/mn>3<\/mn><\/mfrac>m<\/mi>L<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/mrow>I = \\frac{1}{3}mL^2<\/annotation><\/semantics><\/math>, e como d<\/mi>=<\/mo>h<\/mi>=<\/mo>1<\/mn>2<\/mn><\/mfrac>L<\/mi><\/mrow>d=h=\\frac{1}{2}L<\/annotation><\/semantics><\/math>, tem-se<\/p>\n\n\n\n
\\omega=\\sqrt{\\frac{mgd}{I}}=\\sqrt{\\frac{mg\\frac{L}{2}}{\\frac{mL^2}{3}}}=\\sqrt{\\frac{3g}{2L}}<\/pre><\/div>\n\n\n\n
assim, o per\u00edodo de oscila\u00e7\u00e3o do p\u00eandulo f\u00edsico ser\u00e1<\/p>\n\n\n\n
T=\\frac{2\\pi}{\\omega}=2\\pi\\sqrt{\\frac{2L}{3g}}=1,64s<\/pre><\/div>\n\n\n\n
Para que o p\u00eandulo simples da figura (b) oscile com o mesmo per\u00edodo encontrado acima, teremos que<\/p>\n\n\n\n
T=2\\pi\\sqrt{\\frac{L_{0}}{g}}=2\\pi\\sqrt{\\frac{2L}{3g}} \\\\\nou \\quad seja\\\\\nL_{0}=\\frac{2}{3}L=66,7cm<\/pre><\/div>\n\n\n\n
BIBLIOGRAFIA<\/strong><\/p>\n\n\n\n